보편 가역층

대수기하학과 미분기하학에서, 보편 가역층(普遍可逆層, 영어: universal invertible sheaf, tautological invertible sheaf) 또는 보편 선다발(普遍線다발, 영어: universal line bundle, tautological line bundle)은 사영 공간 위에 정의되는 표준적인 가역층(선다발)이며, 보통 ${\mathcal {O}}(-1)$로 표기된다. 대략, 사영 공간은 벡터 공간의 원점을 지나는 1차원 부분 벡터 공간들의 모듈라이 공간이므로, 보편 가역층은 사영 공간의 각 점에, 이 점이 나타내는 1차원 부분 벡터 공간을 대응시키는 선다발이다.

정의

체 $K$ 위의 유한 생성 자유 가환 결합 대수

$A=K[x_{0},x_{1},\dots ,x_{n}]$

를 생각하자. $n$차원 사영 공간은 그 사영 스펙트럼이다.

$\mathbb {P} _{K}^{n}=\operatorname {Proj} A$

이제, 구조층

${\mathcal {O}}_{\mathbb {P} _{K}^{n}}$

위의 대수층

${\mathcal {A}}={\mathcal {O}}_{\mathbb {P} _{K}^{n}}[y_{0},\dotsc ,y_{n}]$

의 상대 스펙트럼

$\operatorname {\underline {Spec}} {\mathcal {A}}=\mathbb {A} _{\mathbb {P} _{K}^{n}}^{n+1}=\mathbb {P} _{K}^{n}\times _{K}\mathbb {A} _{K}^{n+1}$

을 취하자. 기하학적으로, 이는 $n$차원 사영 공간 위의 자명한 $n+1$차원 벡터 다발에 해당한다.

이제, 대수층의 다음과 같은 아이디얼 층을 생각하자.

${\mathfrak {I}}=(x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i})_{i,j\in \{0,1,\dotsc ,n\}}\subseteq {\mathcal {A}}$

그렇다면, 이에 대한 몫 대수층

${\mathcal {O}}_{{\mathcal {P}}_{K}^{n}}(-1)=\operatorname {\underline {Spec}} ({\mathcal {A}}/{\mathfrak {I}})$

는 가역층을 이룬다. 이를 $\mathbb {P} _{K}^{n}$의 보편 가역층이라고 한다. 기하학적으로, 그 닫힌점들의 집합은

$\{([x_{0}:x_{1}:\dotsb :x_{n}],y_{0},y_{1},\dotsc ,y_{n})\in \mathbb {P} _{K}^{n}\times _{K}\mathbb {A} _{K}^{n+1}\colon [x_{0}:\dotsb :x_{n}]=[y_{0}:\dotsb :y_{n}]\}\cup \mathbb {P} _{K}^{n}\times \{(0,0,\dotsc ,0)\}$

이다. 여기서 $(-,-,\dotsc ,-)$은 아핀 공간의 데카르트 좌표이며, $[-:-:\dotsb :-]$는 사영 공간의 동차 좌표이다.

성질

보편 가역층 ${\mathcal {O}}(-1)$은 세르 뒤틀림층(영어: Serre’s twisting sheaf) ${\mathcal {O}}(1)$의 (텐서곱에 대한) 역원이다.

베유 인자

체 $K$ 위의 사영 공간 $\mathbb {P} _{K}^{n}=\operatorname {Proj} K[x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}]$을 생각하자. 이 경우, 가환환의 몫 사상

$K[x_{0},x_{1},\dotsc ,x_{n}]\,{\stackrel {x_{0}\mapsto 0}{\twoheadrightarrow }}\,K[x_{1},\dotsc ,x_{n}]$

으로 정의되는, 사영 공간 사이의 사상

$\mathbb {P} _{K}^{n-1}\hookrightarrow \mathbb {\mathbb {P} } _{K}^{n}$

을 생각하자. 이는 여차원 1의 닫힌 부분 스킴이므로, $\mathbb {P} _{K}^{n}$의 베유 인자를 이룬다. 이를 초평면 인자(영어: hyperplane divisor)라고 하고, $H$로 표기하자.

($x_{0}$ 대신 다른 좌표를 사용하거나 $x_{0}$을 0 대신 다른 값으로 대응시키더라도, 이와 같은 동치류에 속하는 베유 인자를 얻는다.)

그렇다면, 보편 가역층은 인자류

$-[H]\in \operatorname {DivCl} (\mathbb {P} _{K}^{n})$

에 대응한다. (즉, 효과적 인자류 $[H]$는 세르 뒤틀림층에 대응한다.)

외부 링크

• “Tautological line bundle”. 《nLab》 (영어). 
• “Hyperplane line bundle”. 《nLab》 (영어).