아벨 다양체

대수기하학에서 아벨 다양체(Abel多樣體, 영어: Abelian variety) 또는 가환다양체(可換多樣體)는 아벨 군을 이루는 대수다양체다. 가환 리 군에 대응되는 대수기하학적 개념이다.

정의

대수적으로 닫힌 체 $k$ 위의 아벨 다양체는 $k$에 대한, 대수군을 이루는 (기약 연결) 사영 대수다양체이다.

등원사상(等原寫像, 영어: isogeny 아이소제니^[*])은 두 아벨 다양체 사이의, 핵이 유한 집합인 전사 군 준동형이다.^:329 영어명 영어: isogeny 아이소제니^[*]는 고대 그리스어: ἰσογενής 이소게네스^[*](같은 종족·출신·종류의)에서 왔는데, 이는 등원사상이 아벨 다양체의 원점(군의 항등원)을 보존시키기 때문이다.

아벨 다양체의 극성화(極性化, 영어: polarization)는 다양체로부터 그 쌍대 다양체로의 등원사상이다. 주극성화(영어: principal polarization)는 동형사상인 극성화 (즉, 다양체로부터 그 쌍대 다양체로의 동형사상)이다. (주)극성화 아벨 다양체(영어: (principally) polarized Abelian variety)는 (주)극성화를 갖춘 아벨 다양체이다.

복소수체 위의 아벨 다양체

아벨 함수와 세타 함수

복소수 아벨 다양체 위의 유리형 함수를 아벨 함수(Abel函數, 영어: Abelian function)라고 한다. 즉, 이는 $g$개의 복소수 변수를 갖고, 모든 변수에 대하여 주기적인 유리형 함수이다. 이는 타원 함수의 고차원 일반화이다.

복소수 아벨 다양체 위의 해석적 선다발의 해석적 단면을 세타 함수라고 한다.

리만 조건

복소수체 $\mathbb {C}$에 대한 $g$차원 아벨 다양체는 해석적으로 원점을 갖춘 복소수 원환면

$V/\Lambda \cong T^{2g}$

이다. 여기서

• $V\cong \mathbb {C} ^{g}$는 $g$차원 복소수 벡터 공간이다.
• $\Lambda \subset V$는 $V$ 속의 격자이다.

이러한 해석적 복소수 원환면 위의 리만 형식(Riemann形式, 영어: Riemann form) $h\colon V\times V\to \mathbb {C}$은 격자에 제한한다면 허수 성분은 정수인 반쌍선형 형식이다. 즉, 다음 조건들이 성립한다.

• (에르미트성) 임의의 $u,v\in V$에 대해, $\langle u,v\rangle ={\overline {\langle v,u\rangle }}$
• (반쌍선형성) 임의의 $\alpha ,\alpha '\in \mathbb {C}$, $u,v,v'\in V$에 대해, $\langle u,\alpha v+\alpha 'v'\rangle =\alpha \langle u,v\rangle +\alpha '\langle u,v'\rangle$
• (정부호성) 임의의 0이 아닌 $u\in V$에 대하여, $\langle u,u\rangle >0$이다.
• (정수성) 임의의 $u,v\in \Lambda$에 대하여, $\langle u,v\rangle \in \mathbb {R} +i\mathbb {Z}$이다.

그렇다면 복소수 원환면 $V/\Lambda$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $\mathbb {C} /\Lambda$는 아벨 다양체이다. 즉, 복소수 사영 공간으로 가는 매장이 존재한다.
• (리만 조건, Riemann條件, 영어: Riemann conditions) $\mathbb {C} /\Lambda$ 위에 리만 형식이 존재한다.

리만 형식이 존재한다면, 이로 인하여 $(V/\Lambda ,h)$는 켈러 다양체를 이루며, 그 켈러 형식

$K={\frac {1}{2}}i(h-{\bar {h}})\in H^{2}(V/\Lambda ;\mathbb {Z} )\qquad (h(a,b)=\langle a,b\rangle )$

은 정수 계수 코호몰로지에 속한다. 따라서, 고다이라 매장 정리에 따라 $V/\Lambda$는 사영 대수다양체를 이룬다. 이 경우, 매장의 좌표는 구체적으로 $V$ 위의 세타 함수들로 주어진다.

리만 조건은 여러 가지 방법으로 서술할 수 있다. 예를 들어, 에르미트 형식 $h$의 허수 부분

$Q=\operatorname {Im} h|_{\Lambda \times \Lambda }\colon \Lambda \times \Lambda \to \mathbb {Z}$

은 정수 행렬을 이루며, 이로부터 에르미트 형식 전체를 다음과 같이 복구할 수 있다.

$h(u,v)=iQ^{\mathbb {R} }(u,v)+Q^{\mathbb {R} }(iu,v)\qquad \forall u,v\in V$

여기서 $Q^{\mathbb {R} }\colon V\times V\to \mathbb {R}$는 $Q$의 실수 계수 선형 확대이다. 따라서, 리만 조건을 다음과 같이 쓸 수 있다.

• $\Lambda$ 위의, 정수값의 반대칭 이차 형식 $Q$가 존재하며, 다음 두 조건이 성립한다.^:13–14

  $Q^{\mathbb {R} }(iu,iv)=Q^{\mathbb {R} }(u,v)\qquad \forall u,v\in V$

  $h(u,u)=Q^{\mathbb {R} }(iu,u)>0\forall u\in V\setminus \{0\}$

또는 이는 $Q^{\mathbb {R} }$ 대신 $Q^{\mathbb {C} }$를 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다. $\Lambda \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} =V\oplus {\bar {V}}$로 놓으면,

• $\Lambda$ 위의, 정수값의 반대칭 이차 형식 $Q$가 존재하며, 다음 두 조건이 성립한다.^:327

  $Q^{\mathbb {R} }(iu,iv)=Q^{\mathbb {R} }(u,v)\qquad \forall u,v\in V$

  $h(u,u)=-iQ^{\mathbb {R} }(u,{\bar {u}})>0\forall u\in V\setminus \{0\}$

등원사상과 극성화

복소수체 위에서의 등원사상은 아벨 다양체를 정의하는 격자로서 다룰 수 있다. 두 아벨 다양체 $V/\Lambda$, $V/\Lambda '$에서 등원사상

$V/\Lambda \twoheadrightarrow V/\Lambda '$

이 주어졌다면, 이는 격자의 포함 관계 $\Lambda '\hookrightarrow \Lambda$와 같다. 즉, 이는 (격자를 자유 아벨 군으로 여길 때) 유한 지표 부분군으로 주어진다.

복소수체에 대한 아벨 다양체의 경우, 주극성화는 리만 형식의 동치류에 의하여 주어진다. 구체적으로, 두 리만 형식 $H,H'$이 양의 정수 $n,n'\in \mathbb {Z} ^{+}$이 존재해 $nH=n'H'$인 경우, $H\sim H'$으로 정의한다. 그렇다면 리만 형식의 동치류 $[H]$는 주극성화를 정의한다.

모듈러스 공간

복소수 $g$차원 주극성화 아벨 다양체의 모듈라이 공간 ${\mathcal {A}}_{g}$는 다음과 같다.

${\mathcal {A}}_{g}=\operatorname {Sp} (2g;\mathbb {Z} )\backslash \operatorname {Sp} (2g;\mathbb {R} )/\operatorname {U} (g)$

여기서 $\operatorname {Sp} (2g;\mathbb {R} )$는 리만 형식을 보존하는 심플렉틱 변환들의 집합이고, $\operatorname {Sp} (2g;\mathbb {Z} )$는 리만 형식의 동치에 의하여 생성되는 군이다. 여기서 $\operatorname {Sp} (2g;\mathbb {R} )/\operatorname {U} (g)$를 지겔 상반평면(Siegel上半平面, 영어: Siegel upper half-plane)이라고 하는데, 이는 $g=1$일 경우 일반적인 복소수 상반평면이기 때문이다.

이는 복소수 $g(g+1)/2$차원 오비폴드이다. 모든 (대수다양체가 아닐 수 있는) 복소수 원환면들의 모듈러스 공간의 차원은 복소수 $g^{2}$차원이므로, $g>1$인 경우 거의 모든 복소수 원환면은 아벨 다양체가 아니다. 다만, $g=1$인 경우 (타원곡선) 모든 복소수 원환면은 대수적이다.

예를 들어, $g=1$인 경우 $\operatorname {Sp} (2;\mathbb {Z} )=\operatorname {PSL} (2;\mathbb {Z} )$는 모듈러 군이고,

$\operatorname {Sp} (2;\mathbb {R} )/\operatorname {U} (1)=\operatorname {PSL} (2;\mathbb {R} )/\operatorname {SO} (2)\cong \{z\mapsto az+b|a\in \mathbb {R} ^{+},b\in \mathbb {R} \}\cong \mathbb {H}$

는 (아핀) 복소수 상반평면이므로

${\mathcal {A}}_{1}=\mathbb {H} /\operatorname {PSL} (2;\mathbb {Z} )$

는 복소수 타원 곡선의 모듈러스 공간이다.

예

아벨 다양체의 주된 예는 대수 곡선의 야코비 다양체 또는 일반적인 대수다양체의 피카르 다양체 및 알바네세 다양체이다. 1차원 아벨 다양체는 타원 곡선이라고 한다.

참고 문헌

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• Mumford, David (2008). 《Abelian varieties》 (영어) 2판. Tata Institute of Fundamental Research. ISBN 978-81-85931-86-9. Zbl 1177.14001.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
• Murty, V. Kumar (1993). 《Introduction to Abelian varieties》. CRM Monograph Series (영어) 3. American Mathematical Society/Centre de Recherches Mathématiques. ISBN 978-0-8218-1179-5. Zbl 0779.14013. 
• Debarre, Olivier (2005). 《Complex Tori and Abelian Varieties》. SMF/AMS Texts and Monographs (영어) 11. American Mathematical Society/Société Mathématique de France. ISBN 978-0-8218-3165-6. 

외부 링크

• van der Geer, Gerard; Ben Moonen. “Abelian varieties” (영어). 2011년 8월 6일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2013년 10월 30일에 확인함. 
• Arapura, Donu (2012년 4월 19일). “Abelian varieties and moduli” (PDF) (영어). 
• Venkov, B.B. (2001). “Abelian variety”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Dolgachev, I.V. (2001). “Abelian scheme”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Dolgachev, I.V. (2001). “Isogeny”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Abelian function”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.