아벨 다양체

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대수기하학에서, 아벨 다양체(Abel多樣體, 영어: Abelian variety) 또는 가환다양체(可換多樣體)는 아벨 군을 이루는 대수다양체다. 가환 리 군에 대응되는 대수기하학적 개념이다.

정의[편집]

대수적으로 닫힌 체 k 위의 아벨 다양체k에 대한, 대수군을 이루는 (기약 연결) 사영 대수다양체이다.

등원사상(等原寫像, 영어: isogeny 아이소제니[*])은 두 아벨 다양체 사이의, 유한 집합전사 군 준동형이다.[1]:329 영어명 영어: isogeny 아이소제니[*]고대 그리스어: ἰσογενής 이소게네스[*](같은 종족·출신·종류의)에서 왔는데, 이는 등원사상이 아벨 다양체의 원점(항등원)을 보존시키기 때문이다.

아벨 다양체의 극성화(極性化, 영어: polarization)는 다양체로부터 그 쌍대 다양체로의 등원사상이다. 주극성화(영어: principal polarization)는 동형사상인 극성화 (즉, 다양체로부터 그 쌍대 다양체로의 동형사상)이다. (주)극성화 아벨 다양체(영어: (principally) polarized Abelian variety)는 (주)극성화를 갖춘 아벨 다양체이다.

복소수체 위의 아벨 다양체[편집]

아벨 함수와 세타 함수[편집]

복소수 아벨 다양체 위의 유리형 함수아벨 함수(Abel函數, 영어: Abelian function)라고 한다. 즉, 이는 g개의 복소수 변수를 갖고, 모든 변수에 대하여 주기적유리형 함수이다. 이는 타원 함수의 고차원 일반화이다.

복소수 아벨 다양체 위의 해석적 선다발의 해석적 단면을 세타 함수라고 한다.

리만 조건[편집]

복소수체 \mathbb C에 대한 g차원 아벨 다양체는 해석적으로 원점을 갖춘 복소수 원환면

V/\Lambda\cong T^{2g}

이다. 여기서

  • V\cong\mathbb C^gg차원 복소수 벡터 공간이다.
  • \Lambda\subset VV 속의 격자이다.

이러한 해석적 복소수 원환면 위의 리만 형식(Riemann形式, 영어: Riemann form) h\colon V\times V\to\mathbb C은 격자에 제한한다면 허수 성분은 정수인 반쌍선형 형식이다. 즉, 다음 조건들이 성립한다.

  • (에르미트성) 임의의 u,v\in V에 대해, \langle u,v\rangle=\overline{\langle v,u\rangle}
  • (반쌍선형성) 임의의 \alpha,\alpha'\in\mathbb C, u,v,v'\in V에 대해, \langle u,\alpha v+\alpha'v'\rangle=\alpha\langle u,v\rangle+\alpha'\langle u,v'\rangle
  • (정부호성) 임의의 0이 아닌 u\in V에 대하여, \langle u,u\rangle>0이다.
  • (정수성) 임의의 u,v\in\Lambda에 대하여, \langle u,v\rangle\in\mathbb R+i\mathbb Z이다.

그렇다면 복소수 원환면 V/\Lambda에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • \mathbb C/\Lambda는 아벨 다양체이다. 즉, 복소수 사영 공간으로 가는 매장이 존재한다.
  • (리만 조건, Riemann條件, 영어: Riemann conditions) \mathbb C/\Lambda 위에 리만 형식이 존재한다.

리만 형식이 존재한다면, 이로 인하여 (V/\Lambda,h)켈러 다양체를 이루며, 그 켈러 형식

K=\frac12i(h-\bar h)\in H^2(V/\Lambda;\mathbb Z)\qquad(h(a,b)=\langle a,b\rangle)

은 정수 계수 코호몰로지에 속한다. 따라서, 고다이라 매장 정리에 따라 V/\Lambda사영 대수다양체를 이룬다. 이 경우, 매장의 좌표는 구체적으로 V 위의 세타 함수들로 주어진다.

리만 조건은 여러 가지 방법으로 서술할 수 있다. 예를 들어, 에르미트 형식 h의 허수 부분

Q=\operatorname{Im}h|_{\Lambda\times\Lambda}\colon\Lambda\times\Lambda\to\mathbb Z

은 정수 행렬을 이루며, 이로부터 에르미트 형식 전체를 다음과 같이 복구할 수 있다.

h(u,v)=iQ^{\mathbb R}(u,v)+Q^{\mathbb R}(iu,v)\qquad\forall u,v\in V

여기서 Q^{\mathbb R}\colon V\times V\to\mathbb RQ의 실수 계수 선형 확대이다. 따라서, 리만 조건을 다음과 같이 쓸 수 있다.

  • \Lambda 위의, 정수값의 반대칭 이차 형식 Q가 존재하며, 다음 두 조건이 성립한다.[2]:13–14
    Q^{\mathbb R}(iu,iv)=Q^{\mathbb R}(u,v)\qquad\forall u,v\in V
    h(u,u)=Q^{\mathbb R}(iu,u)>0\forall u\in V\setminus\{0\}

또는 이는 Q^{\mathbb R} 대신 Q^{\mathbb C}를 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있다. \Lambda\otimes_{\mathbb Z}\mathbb C=V\oplus\bar V로 놓으면,

  • \Lambda 위의, 정수값의 반대칭 이차 형식 Q가 존재하며, 다음 두 조건이 성립한다.[1]:327
    Q^{\mathbb R}(iu,iv)=Q^{\mathbb R}(u,v)\qquad\forall u,v\in V
    h(u,u)=-iQ^{\mathbb R}(u,\bar u)>0\forall u\in V\setminus\{0\}

등원사상과 극성화[편집]

복소수체 위에서의 등원사상은 아벨 다양체를 정의하는 격자로서 다룰 수 있다. 두 아벨 다양체 V/\Lambda, V/\Lambda'에서 등원사상

V/\Lambda\twoheadrightarrow V/\Lambda'

이 주어졌다면, 이는 격자의 포함 관계 \Lambda'\hookrightarrow\Lambda와 같다. 즉, 이는 (격자를 자유 아벨 군으로 여길 때) 유한 지표 부분군으로 주어진다.

복소수체에 대한 아벨 다양체의 경우, 주극성화는 리만 형식의 동치류에 의하여 주어진다. 구체적으로, 두 리만 형식 H,H'이 양의 정수 n,n'\in\mathbb Z^+이 존재해 nH=n'H'인 경우, H\sim H'으로 정의한다. 그렇다면 리만 형식의 동치류 [H]는 주극성화를 정의한다.

모듈러스 공간[편집]

복소수 g차원 주극성화 아벨 다양체의 모듈러스 공간 \mathcal A_g는 다음과 같다.

\mathcal A_g=\operatorname{Sp}(2g;\mathbb Z)\backslash\operatorname{Sp}(2g;\mathbb R)/\operatorname U(g)

여기서 \operatorname{Sp}(2g;\mathbb R)는 리만 형식을 보존하는 심플렉틱 변환들의 집합이고, \operatorname{Sp}(2g;\mathbb Z)는 리만 형식의 동치에 의하여 생성되는 군이다. 여기서 \operatorname{Sp}(2g;\mathbb R)/\operatorname U(g)지겔 상반평면(Siegel上半平面, 영어: Siegel upper half-plane)이라고 하는데, 이는 g=1일 경우 일반적인 복소수 상반평면이기 때문이다.

이는 복소수 g(g+1)/2차원 오비폴드이다. 모든 (대수다양체가 아닐 수 있는) 복소수 원환면들의 모듈러스 공간의 차원은 복소수 g^2차원이므로, g>1인 경우 거의 모든 복소수 원환면은 아벨 다양체가 아니다. 다만, g=1인 경우 (타원곡선) 모든 복소수 원환면은 대수적이다.

예를 들어, g=1인 경우 \operatorname{Sp}(2;\mathbb Z)=\operatorname{PSL}(2;\mathbb Z)모듈러 군이고,

\operatorname{Sp}(2;\mathbb R)/\operatorname U(1)=\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)/\operatorname{SO}(2)\cong\{z\mapsto az+b|a\in\mathbb R^+,b\in\mathbb R\}\cong \mathbb H

는 (아핀) 복소수 상반평면이므로

\mathcal A_1=\mathbb H/\operatorname{PSL}(2;\mathbb Z)

는 복소수 타원 곡선의 모듈러스 공간이다.

[편집]

아벨 다양체의 주된 예는 대수 곡선야코비 다양체 또는 일반적인 대수다양체피카르 다양체알바네세 다양체이다. 1차원 아벨 다양체는 타원 곡선이라고 한다.

참고 문헌[편집]

  1. Griffiths, Philip; Harris, Joseph (1994년 8월). 《Principles of algebraic geometry》 (영어). Wiley Classics Library 2판. Wiley. doi:10.1002/9781118032527. ISBN 978-0-471-05059-9. MR 1288523. Zbl 0836.14001. 
  2. Milne, J. S. (2008년 3월 16일). “Abelian varieties” (영어) 2.0판. 

바깥 고리[편집]