리만-로흐 정리

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대수기하학에서, 리만-로흐 정리(Riemann-Roch 定理, 영어: Riemann–Roch theorem)는 콤팩트 리만 곡면에 주어진 꼴의 특이점을 갖는 일차 독립 유리형 함수들의 개수에 대한 정리다.

정의[편집]

콤팩트 리만 곡면이라고 하자. 위의 인자의 점들에 의하여 생성되는 자유 아벨 군의 원소다. 즉, 인자 는 다음과 같은 꼴이다.

(, )

인자의 차수(degree)는 다음과 같다.

.

위의 유리형 복소 미분 형식이라고 하자. (리만 곡면 위에서는 유리형 복소 미분 형식은 물론 0차 또는 1차이다.) 극점과 영점(zero)들을 갖는다. 극들이 이고, 그 차수가 각각 라고 하자. 영점들이 이고, 그 차수가 각각 라고 하자. 그렇다면 의 인자를 다음과 같이 정의한다.

.

유리형 함수(즉, 0차 유리형 복소 미분 형식)의 인자를 주인자(principal divisor)라고 한다. 1차 유리형 복소 미분 형식의 인자를 표준 인자(canonical divisor)라고 한다.

인자 에 대하여, 의 계수가 모두 음이 아닌 유리형 함수 들의 복소 벡터 공간의 (복소) 차원을 라고 하자.

위의 인자이고, 표준 인자라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

.

여기서 오일러 지표이다. 이를 리만 곡면의 종수(genus) 로 쓰면

이다.

선다발의 경우[편집]

인자(의 동치류)는 정칙 선다발에 대응하므로, 리만-로흐 정리를 선다발에 대하여 직접 나타낼 수 있다. 리만 곡면 위에 정칙 선다발 이 있다고 하자. 그렇다면 코호몰로지 벡터 공간 을 생각할 수 있다. 코호몰로지의 차원을 로 쓰자. 이렇게 하면, 리만-로흐 정리는 다음과 같이 쓸 수 있다.

(여기서 오일러 지표다.) 세르 쌍대성을 사용하여,

따라서, 에 대응하는 인자류가 라고 한다면

가 된다.

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바이어슈트라스 점이 아니라고 하자. 그렇다면, 리만-로흐 정리에 따라 주어진 특이점들을 갖는 유리형 함수들의 차원 는 다음과 같다.

종수 의 생성원 ()
0 (리만 구) 1 2 3 4 5 6
1 (타원 곡선) 1 1 2 3 4 5 타원 함수
2 1 1 1 2 3 4
3 1 1 1 1 2 3

이며 인 경우, 특수한 점에서 가 위 표와 다른 값일 수 있다. 즉, 이러한 점에서는 이다. 이를 바이어슈트라스 점이라고 한다. 예를 들어, 인 경우 인 점이 정확히 6개 있다. 일반적으로, 주어진 종수 위에서의 바이어슈트라스 점들의 수는 유한하다.

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리만-로흐 정리를 써서, 종수가 인 콤팩트 리만 곡면의 표준 인자 의 차수가 임을 보일 수 있다.

  1. 콤팩트 리만 곡면 위에서의 정칙함수는 상수함수밖에 없다. 즉, 이다. 물론 이다.
  2. 으로 놓자. 그렇다면 이다. 즉, 이다.
  3. 로 놓자. 그렇다면 이다. 즉, 이다.

곡면 리만-로흐 정리[편집]

대수 곡면에 대해서도 리만-로흐 정리가 존재하며, 다음과 같다.[1]:362–363 대수적으로 닫힌 체 에 대한 비특이 대수 곡면 (2차원 비특이 완비(영어: complete) 대수다양체) 위에 베유 인자 가 존재한다고 하고, 그 (정칙) 오일러 지표라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

여기서 표준 인자이고, 는 두 인자 사이의 교차수(영어: intersection number)이며, 산술종수이다.

일반화[편집]

곡선과 곡면에 대한 리만-로흐 정리는 히르체브루흐-리만-로흐 정리로 일반화되며, 이 또한 아티야-싱어 지표 정리그로텐디크-리만-로흐 정리로 일반화된다.

역사[편집]

구스타프 로흐

곡선에 대한 리만-로흐 정리는 베른하르트 리만이 1857년 표준 인자 항 를 무시한, 부등식의 형태로 증명하였다.[2] 리만의 제자였던 구스타프 로흐가 1865년 표준 인자 항을 삽입하여 등식으로 만들었다.[3] 로흐는 이 정리를 24세에 증명하였는데, 불행히도 2년 뒤 결핵에 걸려 26세의 나이로 요절하였다.

곡면에 대한 리만-로흐 정리는 막스 뇌터가 1886년에, 페데리고 엔리퀘스가 1894년에 초기적인 형태로 증명하였고, 고전적인 형태는 귀도 카스텔누오보가 1896년에 증명하였다.

참고 문헌[편집]

  1. Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic Geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001. 
  2. Riemann, Bernhard (1857). “Theorie der Abel'schen Functionen”. 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 (독일어) 1857 (54): 115–155. doi:10.1515/crll.1857.54.115. ISSN 1435-5345. 
  3. Roch, Gustav (1865). “Ueber die Anzahl der willkurlichen Constanten in algebraischen Functionen”. 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 (독일어) 1865 (64): 372–376. doi:10.1515/crll.1865.64.372. ISSN 1435-5345. 

바깥 고리[편집]