사영 스펙트럼

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

대수기하학에서, 사영 스펙트럼(射影spectrum, 영어: projective spectrum)은 등급환으로부터 스킴을 만드는 한 방법이다.[1]:76–77 이를 다항식들의 등급환에 적용하면 통상적인 사영 공간을 얻는다. 기호는 Proj(R).

정의[편집]

자연수 등급을 가진) 등급환

가 주어졌다고 하자. 이 등급환의 무관 아이디얼 을 생각하자. 그렇다면, 사영 스펙트럼 는 집합으로서 다음 조건들을 만족시키는 소 아이디얼 들의 집합이다.

  1. 동급이다. 즉, 임의의 에 대하여, 그 성분들을 라고 하면, 이다.
  2. 무관 아이디얼을 부분 집합으로 포함하지 않는다. 즉, 이다.

여기서 두 번째 조건은 (고전적) 사영 공간에서 무관 아이디얼을 포함하는 아이디얼의 영점의 집합은 공집합이기 때문이다.

자리스키 위상[편집]

에 다음과 같은 자리스키 위상을 주어, 위상 공간으로 만든다. 열린집합들은 다음과 같은 꼴의 부분 집합들로 이루어진다. 의 임의의 동급 아이디얼 에 대하여,

이다. 이들은 위상 공간의 공리들을 만족시킴을 쉽게 확인할 수 있다.

구조층[편집]

에 다음과 같은 가환환 값의 를 주어, 환 달린 공간으로 만들 수 있다. 임의의 열린 집합 에 대하여, 는 다음과 같은 두 성질들을 만족시키는 함수들

이 이루는 가환환이다. 여기서 의 원소가 아닌 모든 동급 원소들의 부분 집합이라고 하면, 에서의 국소화이다. 모든 에 대하여,

  1. 는 국소적으로 동급 원소들의 비이다. 즉, 근방 가 존재하여, 모든 에 대해서 다음 두 조건을 만족시키는 원소 가 존재한다.
    1. 는 둘 다 동급 원소이며, 그 등급이 서로 같다. 즉, 이 존재한다.
    2. .

이렇게 층을 주면, 스킴의 구조를 이루는 것을 보일 수 있다.

사영 스펙트럼 위의 가군층[편집]

등급환 위에 등급 가군 이 주어졌다고 하자. 그렇다면 사영 스펙트럼의 정의와 유사하게, 위의 가군층 을 정의할 수 있다. 구체적으로, 임의의 열린집합 에 대하여, 는 다음과 같은 두 성질들을 만족시키는 함수들

이 이루는 가환환이다. 여기서 의 원소가 아닌 모든 동급 원소들의 부분 집합이라고 하면, 에서의 국소화이다. 모든 에 대하여,

  1. 는 국소적으로 동급 원소들의 비이다. 즉, 근방 가 존재하여, 모든 에 대해서 다음 두 조건을 만족시키는 원소 , 가 존재한다.
    1. 는 동급 원소이며, 그 등급이 서로 같다. 즉, , 이 존재한다.
    2. .

특히, 자체를 의 [등급 가군]]으로 간주하면, 의 구조층이다.

임의의 등급 가군 가 주어지면, 임의의 정수 에 대하여 그 뒤틀림(twist)

인 등급 가군이다. 즉, 등급을 단순히 만큼 이동시킨 것이다. 이 연산을 층에 정의하면, 층 뒤틀림 을 정의할 수 있다. 구조층 의 뒤틀림 세르 뒤틀림 층(영어: Serre twisting sheaf)이라고 한다. 이는 항상 가역층이며, 장피에르 세르의 이름을 딴 것이다.

대역적 사영 스펙트럼[편집]

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

  • 스킴
  • -준연접층들의 족 . 또한, 로 놓자.
  • 열린집합 에 대하여, 위의 -등급 -결합 대수 구조

그렇다면, 각 아핀 열린집합 에 대하여 다음과 같은 스킴을 정의하자.

이제, 자연스러운 스킴 사상

이 존재한다. (이는 -등급 대수이기 때문이다.) 이에 따라, 위 스킴 사상들을 통해 들을 짜깁기할 수 있다. 이렇게 하여 얻는 스킴을 대역적 사영 스펙트럼(大譯的射影spectrum영어: global projective spectrum) 또는 상대 사영 스펙트럼(相對射影spectrum, 영어: relative projective spectrum) 라고 한다. (이 단계에서 준연접층 조건이 필요하다.)

성질[편집]

의 구조층 에서의 줄기 이다.[1]:76 여기서 의 원소가 아닌 동급 원소들에 대한 국소화다. 이러한 환은 항상 국소환이다.

[편집]

자명한 사영 스펙트럼[편집]

임의의 (단위원을 가진) 가환환 이 주어지면, 여기에 모든 등급을 0으로 매겨 이를 자명한 등급환으로 취급할 수 있다. 이는 0개의 변수를 가지는 다항식환 이다. 이 등급환의 사영 스펙트럼(즉, 0차원 사영 공간 )은 공집합이다. 이는 무관 아이디얼영 아이디얼 이며, 이는 모든 아이디얼의 부분 아이디얼이기 때문이다.

보다 일반적으로, 등급환 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:80

  • 사영 스펙트럼이 공집합이다. 즉, 이다.
  • 이다. 즉, 의 모든 원소가 멱영원이다.

사영 공간[편집]

가 (단위원을 가진) 가환환이라고 하자. 그렇다면 에 대한 n차원 사영 공간 등급환 의 사영 스펙트럼이다.[1]:77

사영 공간 의 경우, 세르 뒤틀림 층 의 단면은 1차 동차다항식

의 꼴의 함수들이다. 즉, 세르 뒤틀림 층은 일종의 좌표들의 층으로 볼 수 있다. 이 경우, 세르 뒤틀림 층은 가역층이고, 그 역은 사영 공간표준 선다발이다.

준연접층에 대응되는 대역적 사영 스펙트럼[편집]

다음이 주어졌다고 하자.

  • 스킴
  • -준연접층

그렇다면, 대칭 대수

및 이에 대응하는 대역적 사영 스펙트럼

를 정의할 수 있다.

특히, 만약 추가로 유한 생성 가군층일 때, 만약 어떤 닫힌 몰입 에 대하여

의 꼴로 분해될 수 있는 스킴 사상 사영 사상(射影寫像, 영어: projective morphism)이라고 한다.

참고 문헌[편집]

  1. Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 52. Springer. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. 

외부 링크[편집]