동차다항식

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대수학에서, 동차다항식(同次多項式, homogeneous polynomial)은 모든 계수가 영이 아닌 항의 차수가 같은 다변수 다항식이다. 예를 들어, x, y에 대한 다항식 x^3+3x^2y+2xy^2-y^3은 각 항의 차수가 3이므로 동차다항식이다.

동차다항식의 의 집합은 사영 공간에서 사영 대수다양체를 이룬다.

정의[편집]

(또는 ) R 위의 n변수 다항식

f(x_1,x_2,\dots,x_n) = \sum_{i \in I \subset \N^n} a_ix_1^{i_1}\cdots x_n^{i_n}

이 서로 동치인 두 성질

  • a_i \ne 0이면 \sum i = k
  • 임의의 \lambda \in R에 대해 f(\lambda x_1,\lambda x_2,\dots,\lambda x_n) = \lambda^kf(x_1,x_2,\dots,x_n)

(k는 음이 아닌 정수)중 하나를 만족한다면, k동차다항식라고 한다.

성질[편집]

  • 임의의 다항식은 동차다항식의 합으로 표현된다. 영이 아닌 다항식의 표현은 f = f_0 + \cdots + f_{\deg f}와 같다. f_kfk동차성분(同次成分, homogeneous component)이라고 한다.
  • 동차다항식의 비자명 인수는 모두 동차다항식이다.

준동차다항식[편집]

만약 음이 아닌 정수 k, p_1, p_2, \dots, p_n가 존재하여, f가 모든 \lambda \in R에 대하여

\lambda^kf(x_1,x_2,\dots,x_n)=f(\lambda^{p_1}x_1,\lambda^{p_2}x_2,\dots,\lambda^{p_n}x_n)

의 꼴이라면, f준동차다항식(quasihomogeneous polynomial)이라 한다. 동차다항식은 준동차다항식이 p_i = 1인 경우이다.