동차다항식

대수학에서 동차다항식(同次多項式, homogeneous polynomial)은 모든 계수가 영이 아닌 항의 차수가 같은 다변수 다항식이다. 예를 들어, $x,y$ 에 대한 다항식 $x^{3}+3x^{2}y+2xy^{2}-y^{3}$ 은 각 항의 차수가 지수의 합에서 3으로 같으므로 동차다항식이다.

동차다항식의 근의 집합은 사영 공간에서 사영 대수다양체를 이룬다.

정의

환(또는 체) $R$ 위의 $n$ 변수 다항식

f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=\sum _{i\in I\subset \mathbb {N} ^{n}}a_{i}x_{1}^{i_{1}}\cdots x_{n}^{i_{n}}

이 서로 동치인 두 성질

$a_{i}\neq 0$ 이면 $\sum i=k$
임의의 $\lambda \in R$ 에 대해 $f(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\dots ,\lambda x_{n})=\lambda ^{k}f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$

( $k$ 는 음이 아닌 정수)중 하나를 만족한다면, $k$ 차 동차다항식라고 한다.

성질

임의의 다항식은 동차다항식의 합으로 표현된다. 영이 아닌 다항식의 표현은 $f=f_{0}+\cdots +f_{\deg f}$ 와 같다. $f_{k}$ 를 $f$ 의 $k$ 차 동차성분(同次成分, homogeneous component)이라고 한다.
동차다항식의 비자명 인수는 모두 동차다항식이다.