유체론에서 모듈러스(영어: modulus)는 아벨 확대에 대한 분기화 현상을 나타내는 대상이다. 효과적 베유 인자의 개념의 대수적 수체에 대한 일반화이다.
대역체의 아라켈로프 인자[편집]
대역체
의 아라켈로프 인자(Аракелов因子, 영어: Arakelov divisor) 또는 충만 아이디얼(充滿ideal, 영어: replete ideal)
은 다음과 같은 데이터로 구성된다.[1]:34, §I.6
- 각 아르키메데스 자리
에 대하여, 정수 ![{\displaystyle \operatorname {ord} _{\mathfrak {m}}({\mathfrak {p}})\in \mathbb {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f3e0f0aed305eeb4867f4915560fa4710a9f724)
- 각 비아르키메데스 자리 (즉, 대수적 수체의 실수 또는 복소수 자리)
에 대하여, 실수 ![{\displaystyle \operatorname {ord} _{\mathfrak {m}}({\mathfrak {p}})\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b86e258e3a0273b542f6ac4d31692a0cbfb6b544)
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
- 중복수가 0이 아닌 자리의 수는 유한하다.
![{\displaystyle \left|\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Places} ({\mathcal {O}}_{K})\colon \operatorname {ord} _{\mathfrak {m}}({\mathfrak {p}})>0\}\right|<\aleph _{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac7cc3f99dc5200cf479347bf8de4b24c43aa5fc)
이를 자리의 중복수(영어: multiplicity)라고 한다. 아라켈로프 인자는 중복수의 성분별 합에 대하여 아벨 군을 이룬다. 아라켈로프 인자는 다음과 같은 형식적 곱으로 표기한다.
![{\displaystyle {\mathfrak {A}}=\prod _{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Places} ({\mathcal {O}}_{K})}{\mathfrak {p}}^{\operatorname {ord} _{\mathfrak {m}}({\mathfrak {p}})}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb79cbcc8719d3d58491c7aaf692492020153ada)
이는 대수적 정수환의 분수 아이디얼의 일반화이다. 즉, 비아르키메데스 성분이 없는 아라켈로프 인자는 분수 아이디얼과 같다.
모듈러스[편집]
대역체
의 모듈러스
은 다음 조건들을 모두 만족시키는 아라켈로프 인자이다.
- 모든 자리의 중복수는 음이 아니다.
![{\displaystyle \forall {\mathfrak {p}}\in \operatorname {Places} ({\mathcal {O}}_{K})\colon \operatorname {ord} _{\mathfrak {m}}({\mathfrak {p}})\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98bd1b38be9f0482a0946ffd8bdf3be34fb7f784)
- 만약
가 대수적 수체라면, 실수 자리의 중복수는 0 또는 1이며, 복소수 자리의 중복수는 0이다.
만약
가 유한체
위의 고유 대수 곡선
의 유리 함수체라면,
위의 모듈러스는
의 효과적 베유 인자 (즉,
위의 유한 개의 점들의 양의 정수 계수 선형 결합)와 같은 개념이다.
대역체의 모듈러스
는 유한 부분 (유한 위치들의 부분 중복집합)
와 무한 부분 (무한 위치들의 집합)
로 분해할 수 있다. 대수적 수체가 아닌 대역체의 모듈러스의 경우 무한 부분은 1이다. 대수적 수체
의 모듈러스
의 유한 부분
는 소 아이디얼들의 중복집합의 곱이므로, 대수적 정수환
의 아이디얼과 같다.
대역체
의 0이 아닌 두 원소
및
의 모듈러스
에 대하여, 만약
인 모든 자리
에 대하여 다음 조건이 성립한다면,
와
가
에 대하여 합동(영어: congruent)이라고 하고,
으로 적는다.
가 유한 자리이라면, ![{\displaystyle \operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}(a/b-1)\geq \operatorname {ord} _{\mathfrak {m}}({\mathfrak {p}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8e58d18adb8ee2162cc5238ce7b776e0bd6840a)
가 실수 매장
에 대한 실수 자리라면, ![{\displaystyle \sigma (a/b)>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a65920e5563acd278943f5edfca47f6363adb512)
여기서
는
에 대응되는 절댓값이
![{\displaystyle |a|_{\mathfrak {p}}=\exp(-\operatorname {ord} (a))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fa56ccdaf58c5d6090372ec46f4ba20ff58e60e)
와 동치가 되는 전사 함수
이다.
대수 곡면의 아라켈로프 인자[편집]
대수적 수체 위의 대수 곡면의 아라켈로프 인자는 수렌 유리예비치 아라켈로프가 최초로 정의하였으며, 다음과 같다.[2]:71–76
대수적 수체
가 주어졌다고 하자.
-스킴
이 2차원 정역 정칙 스킴이며,
가 고유 사상이자 평탄 사상이라고 하자. 또한,
의 일반점이
라고 하자.
의 아르키메데스 자리
에 대하여,
의
에서의 올
는 다음과 같다.
![{\displaystyle X_{\sigma }=X\times _{{\mathcal {O}}_{K}}{\bar {K}}_{\sigma }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ff387713923c2406e19f0fb23aad848a7466e2e)
이는 리만 곡면을 이룬다.
위의 아라켈로프 인자의 아벨 군
은 다음과 같다.
![{\displaystyle {\widehat {\operatorname {Div} }}(X)=\operatorname {Div} (X)\oplus \bigoplus _{\sigma \in \operatorname {Places} _{\infty }(K)}\mathbb {R} \sigma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90a2728b73f5d54f1a5b1692f02453b8394b3904)
여기서
는
의 아르키메데스 위치들에 의하여 생성되는 실수 벡터 공간이다.
가역 유리 함수
에 대응하는 주 아라켈로프 인자(영어: principal Arakelov divisor)
는 다음과 같다.[2]:75–76
![{\displaystyle (f)=(f)_{0}+\sum _{\sigma \in \operatorname {Places} _{\infty }(K)}(f)_{\sigma }\sigma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95c5670483c36f3661c1d85ca5b17d0617202fe9)
![{\displaystyle (f)_{\sigma }=-\int _{X_{\sigma }}\ln |f_{\sigma }|\;\mathrm {d} \mu _{\sigma }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/954e9d0979213b2fe4eb135f98b37370e86cc99a)
여기서
는 콤팩트 리만 곡면
위의,
이 되는 표준적 부피 형식이다. 구체적으로,
위의 (1,0)-복소수 미분 형식
에 대하여
는 (1,0)-복소수 미분 형식의 가역층 위의 에르미트 계량을 정의하며, 이로부터 부피 형식을 정의할 수 있다.
은 베유 주인자를 뜻한다.
이는 군 준동형
![{\displaystyle (-)\colon \Gamma (X;{\mathcal {K}}_{X}^{\times })\to {\widehat {\operatorname {Div} }}(X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bf11386af604a097135969c77282db7aa40bbda)
을 이루며, 그 여핵을 아라켈로프 인자 유군(영어: Arakelov divisor class group)이라고 한다.[2]:76
유리수체
의 아라켈로프 인자는
![{\displaystyle (r)\infty ^{a}\qquad (r\in \mathbb {Q} ^{\times },\;a\in \mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56a5311448f6e073ee61fbae5ef3e4c2593c5d6d)
의 꼴이다. 유리수체
의 모듈러스는
![{\displaystyle (n)\infty ^{a}\qquad (n\in \mathbb {Z} ^{+},\;a\in \{0,1\})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9484ba5e7cf2c7339fdc5e7244e18563147ab606)
의 꼴이다. 만약
의 소인수 분해가
![{\displaystyle n=\prod _{i}p^{n_{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5feabd2631acd95c5d0b9789853b8eb276f1d6f3)
라면,
에 대하여
![{\displaystyle a\equiv b{\pmod {(n)}}\iff \exists m,k\colon m(a-b)\in n\mathbb {Z} ,\qquad m\nmid n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7ffed7a5b93f3f6c24f682ccf2fd80713a09e57)
이며,
![{\displaystyle a\equiv b{\pmod {(n)\infty }}\iff \left(a/b>1\land a\equiv b{\pmod {(n)}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e57fe71b09425ee71ce1433fdfee24fc905450a)
이다.
아라켈로프 인자의 개념은 수렌 유리예비치 아라켈로프가 도입하였다.[3][4]
의 "정의 모듈러스"와 "인도자"[편집]
이 글의 본문은 아르틴 상호 법칙입니다.
가 대수적 수체이며,
를 유한 아벨 확대로 가정하면,
가
에서 파생되는 모든 소 아이디얼들을 포함하는 유한 집합이라면,
에 대하여 서로소인 분수 아이디얼들의 아벨 군
에서 갈루아 군
으로 가는 다음과 같은 군 준동형이 존재하며, 이를 아르틴 사상(영어: Artin map)이라고 한다.
![{\displaystyle I_{K}^{S}\to \operatorname {Gal} (L/K)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0708e934030e72c611542821a3981393f7519713)
아르틴 상호 법칙에서 어떤 모듈러스
에 대하여, 군 준동형의 핵은 다음과 같은 형태이다.
![{\displaystyle i(K_{{\mathfrak {m}},1})\operatorname {N} _{L/K}(I_{L}^{\mathfrak {m}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a528c8f3d9d105e6ca898b1fb8fec4ffc982b22c)
여기서
은
에 대한 반직선이며,
는 체 노름이다. 이러한 조건을 만족시키는 모듈러스를
의 정의 모듈러스(영어: defining modulus)라고 하며, 여기서, 최소한의
정의모듈러스를
의 인도자(引導者, 영어: conductor)라고 한다.
외부 링크[편집]
같이 보기[편집]