고유 사상

이 문서는 대수기하학에서 스킴의 사상의 종류에 관한 것입니다. 일반위상수학에서 함수의 종류에 대해서는 고유 함수 문서를 참고하십시오.

대수기하학에서 고유 사상(固有寫像, 영어: proper morphism)은 복소다양체 사이의 고유 함수를 일반화하는 스킴 사상의 종류이다.

정의

스킴 사상 $X\to S$가 다음 조건을 만족시킨다면 보편 닫힌 사상(普遍닫힌寫像, 영어: universally closed morphism)이라고 한다.^:100

• 임의의 스킴 사상 $S'\to S$에 대하여, 밑 전환 (즉, 당김의 사영 사상) $X\times _{S}S'\to S'$은 항상 (위상 공간 사이의 함수로서) 닫힌 함수이다.

두 스킴 $X$, $S$ 사이의 사상 $f\colon X\to S$가 다음 조건을 만족시킨다면 고유 사상이라고 한다.^:100

• 보편 닫힌 사상이다.
• 유한형 사상이다.
• 분리 사상이다.

대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 대수다양체 $X$에 대하여, 만약 한 점으로 가는 사상 $X\to \operatorname {Spec} K$가 고유 사상이라면, $X$를 완비 대수다양체(完備代數多樣體, 영어: complete variety)라고 한다.^:105 이는 위상 공간의 콤팩트성에 대응하는 조건이다. 위상 공간 $X$의 경우, 한 점을 갖는 위상 공간으로의 사상 $X\to \{\bullet \}$이 고유 함수인 것은 $X$가 콤팩트 공간인 것과 동치이기 때문이다.

값매김 조건

고유성의 값매김 조건(영어: valuative criterion of properness)에 따르면, 임의의 스킴 $X$와 국소 뇌터 스킴 $Y$ 사이의 준콤팩트 분리 유한형 사상 $f\colon X\to Y$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{:144, Théorème 7.3.8:101, Theorem II.4.7}

• $f$는 고유 사상이다.
• 임의의 이산 값매김환 $R$에 대하여, 자연스러운 포함 관계 $i\colon \operatorname {Spec} \operatorname {Frac} R\to \operatorname {Spec} R$에 대한 오른쪽 유일 올림 성질을 만족시킨다. 즉, 임의의 값매김환 $R$, 임의의 사상 $x\colon \operatorname {Spec} R\to X$ 및 임의의 사상 ${\bar {y}}\colon \operatorname {Spec} R\to X$에 대하여, 만약 ${\bar {y}}\circ i=f\circ x$라면, $x={\bar {x}}\circ i$인 사상 ${\bar {x}}\colon \operatorname {Spec} R\to X$가 항상 유일하게 존재한다.

  ${\begin{matrix}\operatorname {Spec} \operatorname {Frac} R&{\xrightarrow {x}}&X\\{\scriptstyle i}\downarrow &\nearrow {\scriptstyle \exists !{\bar {x}}}&\downarrow \scriptstyle f\\\operatorname {Spec} R&{\xrightarrow[{\bar {y}}]{}}&Y\end{matrix}}$

이 조건에서, "유일하게 존재한다"를 "존재한다면 유일하다"로 바꾸면, 분리 사상의 값매김 조건을 얻는다. 즉, 공역이 국소 뇌터 스킴인 유한형 사상에 대하여, 다음과 같은 값매김 조건이 존재한다.

조건	올림이 항상 존재?	올림이 존재한다면 유일?
보편 닫힌 사상	예	아니오
분리 사상	아니오	예
고유 사상	예	예

여기서 "올림"은 값매김환의 닫힌 점의 포함 사상 $\operatorname {Spec} \operatorname {Frac} R\to \operatorname {Spec} R$에 대한 것이다.

성질

모든 유한 사상은 고유 사상이다. 특히, 모든 닫힌 몰입은 고유 사상이다.

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

스킴 사상 ⊇ 국소 유한형 사상 ⊇ 유한형 사상 ⊇ 고유 사상 ⊇ 유한 사상 ⊇ 닫힌 몰입

완비 대수다양체

대수적으로 닫힌 체 위의 사영 대수다양체는 항상 완비 대수다양체이다. 낮은 차원에서는 그 역이 부분적으로 성립한다.

• 1차원: 대수적으로 닫힌 체 위의 모든 (기약) 대수 곡선은 사영 대수다양체이다.^{:105, Remark II.4.10.2(a)}
• 2차원: 대수적으로 닫힌 체 위의 모든 (기약) 비특이 대수 곡면은 사영 대수다양체이다.^{:105, Remark II.4.10.2(b)} 반면 특이점을 갖는, 사영 대수다양체가 아닌 복소수 완비 대수다양체가 존재한다.^{:105, Remark II.4.10.2(c):Theorem 1, Example 1}
• 3차원 이상에서는 히로나카의 예(영어: Hironaka’s example)로 불리는, 사영 대수다양체가 아닌 복소수 비특이 완비 대수다양체가 존재한다.^{:105, Remark II.4.10.2(d):Theorem 2}

복소수 위의 비특이 대수다양체 $X$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 완비 대수다양체이다.
• $X$에 대응하는 복소다양체 $X^{\operatorname {an} }$는 콤팩트 공간이다.

나가타 콤팩트화 정리

스킴 $X$에서 뇌터 스킴 $S$로 가는 분리 유한형 사상 $f\colon X\to S$이 주어졌다고 하자. 나가타 콤팩트화 정리(영어: Nagata compactification theorem) 에 따르면, $f$는 다음과 같은 꼴로 분해될 수 있다.

$f={\bar {f}}\circ \iota$

여기서

• ${\bar {X}}$는 스킴이며, ${\bar {f}}\colon {\bar {X}}\to S$는 고유 사상이다.
• $\iota \colon X\to {\bar {X}}$는 열린 몰입이다.

이에 따라, 뇌터 스킴 위의 모든 분리 유한형 사상은 고유 사상에 가깝다. 특히, 대수다양체의 경우, 모든 대수다양체는 완비 대수다양체의 자리스키 열린집합으로 나타내어진다.

보다 일반적으로, 이 정리는 $S$ 위의 조건을 뇌터 스킴에서 콤팩트 준분리 스킴으로 약화시켜도 성립한다.

외부 링크

• “Proper morphism”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Complete algebraic variety”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Proper map”. 《nLab》 (영어). 
• “Universally closed morphism”. 《nLab》 (영어). 
• “Valuative criterion of properness”. 《nLab》 (영어). 
• “Complete algebraic variety”. 《nLab》 (영어).