값매김환

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추상대수학에서, 값매김환(-環, 영어: valuation ring) 또는 부치환(賦値環)은 정수의 환의 국소화 와 유사한 성질을 가지는 정역이다.

정의[편집]

정역 위의 값매김(영어: valuation) 은 다음과 같은 순서쌍이다.

  • 아벨 군 . 이를 값군(값群, 영어: value group)이라고 한다.
  • 위의 전순서
  • 군 준동형

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

  • (전순서의 병진 불변성) 임의의 에 대하여, 라면 이다.

정역이고, 그 분수체이라고 하자. 그렇다면 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 정역을 값매김환이라고 한다.

  • 임의의 에 대하여, 이거나 이거나 이다.
  • 베주 정역이자 국소환이다.
  • 아이디얼들은 포함 관계에 대하여 전순서 집합을 이룬다.
  • 주 아이디얼들은 포함 관계에 대하여 전순서 집합을 이룬다.
  • 임의의 에 대하여, 이거나 이다.
  • 적어도 하나 이상의 값매김을 갖는다.

임의의 값매김환 에 대하여, 다음과 같은 표준적인 값매김을 정의할 수 있다.

즉, 값군 는 분수체 가역원군의, 정역 가역원군에 대한 몫환이며, 값매김 는 몫환의 자연스러운 사영 준동형이며, 값군에서 양의 원소들은 이다.

또한, 통상적으로 이며, 이라고 하자. 그렇다면 값매김 는 다음과 같은 성질을 만족한다.

  • 일 필요충분조건은

이 가운데, 두 번째는 삼각 부등식 를 강화한 것이다.

성질[편집]

모든 값매김환은 국소환이며, 베주 정역이다.

값매김환에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

값매김환의 아이디얼[편집]

값매김 를 갖춘 값매김환 아이디얼은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

값군 선분(영어: segment)은 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 이다.

  • 임의의 에 대하여, 이다. 여기서 전순서에 대한 닫힌구간이다.

값군 고립 부분군(영어: isolated subgroup)은 선분이자 부분군인 진부분 집합이다.

의 진 아이디얼 에 대하여, 다음과 같은 함수를 생각하자.

그렇다면, 이 함수는 다음과 같은 성질을 가진다.

  • 이 함수는 의 진 아이디얼들과, 의 선분들 사이의 일대일 대응을 정의한다.
  • 이 함수는 의 영 아이디얼이 아닌 소 아이디얼들과, 의 고립 부분군들 사이의 일대일 대응을 정의한다.

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유리형 함수[편집]

원점에서 극점을 갖지 않는, 복소평면 위의 유리형 함수들의 환은 값매김환이며, 그 분수체는 모든 복소 평면 위의 유리형 함수들의 체다. 이 경우, 값매김은 원점에서의 영점의 계수 (또는 극점의 계수 × −1)이다.

정수환의 국소화[편집]

가 임의의 소수라고 하자. 그렇다면 국소화 이산 값매김환이며, 그 분수체는 유리수체 , 값매김군은 이다. 이 경우, 그 값매김은 (서로소)가 된다. 이를 p진 값매김(영어: p-adic valuation)이라고 하며, 이는 대수적 수론에서 오스트롭스키 정리에 따라 유리수체의 유한 자리들을 구성한다.

p진 정수환[편집]

p진 정수 들의 가환환이산 값매김환이며, 그 분수체는 p진수체 다.

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모든 체는 값매김환이다. 체 의 경우 값매김군은 자명군이다. 자명군의 선분은 밖에 없으며, 이는 체의 영 아이디얼에 대응한다. 자명군은 고립 부분군을 갖지 않는데, 이는 체의 소 아이디얼이 영 아이디얼밖에 없음과 대응한다.

바깥 고리[편집]