절댓값 (대수학)

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대수학대수적 수론에서, 절댓값(絶對값, 영어: absolute value)은 정역의 원소의 크기를 측정하는 실수 함수이다. 초등 수학에서의 절댓값을 일반화한다.

정의[편집]

정역 위의 절댓값은 다음 조건들을 만족시키는 함수 이다.[1]:116, Definition 3.1

  • 임의의 에 대하여,
  • 임의의 에 대하여,
  • (삼각 부등식) 임의의 에 대하여,

정역 위의 절댓값은 그 분수체 위로 다음과 같이 확장할 수 있다.

절댓값을 갖춘 정역 위에는 다음과 같이 거리 함수를 정의하여, 거리 공간으로 만들 수 있다.

절댓값의 공리에 따라, 이다. 또한, 다음이 성립함을 보일 수 있다.

비아르키메데스 절댓값[편집]

정역 위의 절댓값 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 절댓값을 비아르키메데스 절댓값(영어: non-Archimedean absolute value)이라고 한다.

  • (초거리 부등식) 임의의 에 대하여,
  • 유계 집합이다.

비아르키메데스 절댓값이 아닌 절댓값을 아르키메데스 절댓값(영어: Archimedean absolute value)이라고 한다.

비아르키메데스 절댓값의 로그를 취하면, 값매김을 이룬다. 반대로, 실수 덧셈군(의 부분군)을 값군으로 갖는 값매김 가 주어졌다면, 그 지수 함수 는 비아르키메데스 절댓값을 이룬다.

비아르키메데스 절댓값 을 갖춘 에 대하여, 절댓값이 1 이하인 원소들은 값매김환을 이룬다. 이를 에 대한 정수환(영어: ring of integers)이라고 한다.

자리[편집]

같은 정역 위의 두 절댓값 , 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건이 성립한다면 두 절댓값들이 서로 동치라고 한다.

  • 임의의 에 대하여, 만약 이면 이다.
  • 임의의 에 대하여, 동치이다.
  • 위에 같은 위상을 정의한다.
  • 인 양의 실수 가 존재한다.

절댓값의 동치는 동치 관계이며, 이에 대한 자명하지 않은 동치류자리(영어: place)라고 한다.

완비화[편집]

절댓값을 갖춘 정역 거리 공간을 이루므로, 코시 열을 정의할 수 있으며, 이들은 각 성분의 덧셈과 곱셈에 대하여 가환환을 이룬다. 절댓값들이 0으로 수렴하는 코시 열 들은 코시 열들의 환의 소 아이디얼을 이루며, 따라서 그 몫환은 정역을 이룬다. 이 정역을 의 절댓값 에 대한 완비화(영어: completion)라고 한다. 이는 거리 공간으로서의 완비화와 일치한다.

[편집]

임의의 정역 위의 자명 절댓값(영어: trivial absolute value)은 다음과 같다.

유리수체실수체, 복소수체의 경우, 초등 수학의 절댓값은 대수적 절댓값을 이룬다.

𝔭진 절댓값[편집]

데데킨트 정역 가 주어졌을 때, 의 영 아이디얼이 아닌 소 아이디얼 에 대하여 진 절댓값(영어: -adic absolute value) 위의 절댓값이며, 다음과 같다.

이는 물론 위의 절댓값으로 확대할 수 있다.

대수적 수체[편집]

오스트롭스키 정리(Островский定理, 영어: Ostrowski theorem)에 따르면, 대수적 수체 위의 자리들의 목록은 다음과 같다.

  • 자명 절댓값 과 동치인 자리. 이를 자명 자리(영어: trivial place)라고 한다.
  • 대수적 정수환 소 아이디얼 에 대하여, 진 절댓값의 자리. 이를 유한 자리(영어: finite place)라고 한다.
  • 실수로의 매장 에 대하여, . 여기서 는 실수 위의 표준 절댓값이다. 이 절댓값과 동치인 자리를 실 무한 자리(영어: real infinite place)라고 한다.
  • 복소수로의 매장 에 대하여 (), . 여기서 는 복소수 위의 표준 절댓값이다. 이 경우, 는 같은 절댓값을 정의한다. 이 절댓값과 동치인 자리를 복소 무한 자리(영어: complex infinite place)라고 한다.

예를 들어, 유리수체의 자리의 목록은 다음과 같다.

  • 자명 자리
  • 소수 에 대하여, 진 자리
  • 하나의 실 무한 자리

겔판트-토른하임 정리(Гельфанд-Tornheim定理, 영어: Gelfand–Tornheim theorem)에 따르면, 아르키메데스 절댓값을 갖는 임의의 복소수체의 부분체이며, 아르키메데스 절댓값은 이 복소 매장에 의하여 유도되는 절댓값과 동치이다.

대수적 수체 대수적 정수환은 모든 비아르키메데스 절댓값들에 대한 완비화들의 정수환들의 교집합이다.[2]:192

역사[편집]

퀴르샤크 요제프가 1913년에 도입하였다.[3]

참고 문헌[편집]

  1. Neukirch, Jürgen (1999). 《Algebraic number theory》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어) 322. Norbert Schappacher 역. Springer. ISBN 978-3-540-65399-8. ISSN 0072-7830. MR 1697859. Zbl 0956.11021. doi:10.1007/978-3-662-03983-0. 
  2. Cassels, J.W.S. (1986). 《Local fields》. London Mathematical Society Student Texts (영어) 3. Cambridge University Press. ISBN 0-521-31525-5. Zbl 0595.12006. 
  3. Kürschák, Josef (1913). “Über Limesbildung und allgemeine Körpertheorie”. 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 (독일어) 142: 211–253. JFM 44.0239.01. doi:10.1515/crll.1913.142.211. 

외부 링크[편집]