아르틴 상호 법칙

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유체론에서, 아르틴 상호 법칙(Artin相互法則, 영어: Artin reciprocity law)은 이차 상호 법칙대역체의 임의의 유한 아벨 확대로 일반화하는 정리이다.

정의[편집]

대수적 수체이며, 가 유한 아벨 확대라고 하자.

의 정수환 소 아이디얼 에 대하여, 만약 에서 분기(영어: ramified)되지 않는 소수라면, 다음 조건을 만족시키는 유일한 프로베니우스 자기 동형 사상

가 존재한다. 위의, 의 모든 소 아이디얼 에 대하여,

에서 분기되는 모든 소 아이디얼들을 포함하는 유한 집합이라면, 에 대하여 서로소인 분수 아이디얼들의 아벨 군 에서 갈루아 군 으로 가는 다음과 같은 군 준동형이 존재하며, 이를 아르틴 사상(영어: Artin map)이라고 한다.

아르틴 상호 법칙은 아르틴 사상의 이 무엇인지를 제시한다. 구체적으로, 어떤 모듈러스 에 대하여, 군 준동형

의 핵은 다음과 같은 꼴이다.

여기서 에 대한 반직선이며, 체 노름이다. 이러한 조건을 만족시키는 모듈러스정의 모듈러스(영어: defining modulus)라고 하며, 정의 모듈러스 가운데 가장 작은 것을 인도자(引導者, 영어: conductor)라고 한다.

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이차 수체[편집]

이차 수체 을 생각하자 (제곱 인수가 없는 정수). 그렇다면 에서 분기되는 소수들은 다음과 같다.

  • 만약 인 경우, 인 소수 . 이 경우, 판별식이다.
  • 만약 인 경우, 인 홀수 소수 및 2. 이 경우, 판별식이다.

이 경우, 갈루아 군은

이다. 이 경우, 아르틴 사상은 의 인수가 아닌 소수에 대하여 정의된 르장드르 기호이다.

원분체[편집]

원분체 을 생각하자 (은 소수이거나 4의 배수). 그렇다면 갈루아 군은

이다. 여기서 가역원군이다. 구체적으로, 은 갈루아 군의 원소 에 대응된다.

이 경우, 의 인수가 아닌 소수 에 대하여, 아르틴 사상은

이다.

역사[편집]

에밀 아르틴이 1924년~1930년 동안 3편의 논문에서 증명하였다.[1][2][3]

함께보기[편집]

참고 문헌[편집]

  1. Artin, Emil (1924). “Über eine neue Art von L-Reihen”. 《Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg》 (독일어) 3 (1): 89–108. ISSN 0025-5858. doi:10.1007/BF02954618. 
  2. Artin, Emil (1927). “Beweis des allgemeinen Reziprozitätsgesetzes”. 《Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg》 (독일어) 5 (1): 353–363. ISSN 0025-5858. doi:10.1007/BF02952531. 
  3. Artin, Emil (1930). “Idealklassen in Oberkörpern und allgemeines Reziprozitätsgesetzes”. 《Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg》 (독일어) 7 (1): 46–51. ISSN 0025-5858. doi:10.1007/BF02941159. 

외부 링크[편집]