대수적 수론 에서 데데킨트 제타 함수 (Dedekind ζ 函數, 영어 : Dedekind zeta function )는 임의의 대수적 수체 에 대하여 정의되는 유리형 함수 이다. 이는 리만 제타 함수 의 일반화이다. 구체적으로, 리만 제타 함수는 유리수체에 대한 데데킨트 제타 함수이다.
데데킨트 제타 함수는 L-함수 의 대표적인 예이다.
페터 구스타프 르죈 디리클레 가 쓴 수론 교재 《수론 강의》(독일어 : Vorlesungen über Zahlentheorie )에서, 리하르트 데데킨트 가 쓴 부록에 처음 등장하였다.
대수적 수체
K
{\displaystyle K}
s
∈
C
{\displaystyle s\in \mathbb {C} }
Re
(
s
)
>
1
{\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}
K
{\displaystyle K}
데데킨트 제타 함수
ζ
K
(
s
)
{\displaystyle \zeta _{K}(s)}
디리클레 급수 로 정의된다.
ζ
K
(
s
)
=
∑
a
⊆
O
K
a
≠
0
1
N
K
/
Q
(
a
)
s
{\displaystyle \zeta _{K}(s)=\sum _{{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathcal {O}}_{K}}^{{\mathfrak {a}}\neq 0}{\frac {1}{\operatorname {N} _{K/\mathbb {Q} }({\mathfrak {a}})^{s}}}}
여기서
∑
a
⊆
O
K
a
≠
0
{\displaystyle \textstyle \sum _{{\mathfrak {a}}\subseteq {\mathcal {O}}_{K}}^{{\mathfrak {a}}\neq 0}}
K
{\displaystyle K}
대수적 정수환
O
K
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}
아이디얼 들에 대한 합이다.
N
K
/
Q
(
a
)
=
|
O
K
/
a
|
{\displaystyle \operatorname {N} _{K/\mathbb {Q} }({\mathfrak {a}})=|{\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {a}}|}
a
{\displaystyle {\mathfrak {a}}}
몫환 의 크기이다.일반적인
s
∈
C
{\displaystyle s\in \mathbb {C} }
해석적 연속 을 통해 복소 평면 전체로 유리형 함수 로 확장시킬 수 있다. 이 경우, 유일한 극점은
s
=
1
{\displaystyle s=1}
유수 는 유수 공식 으로 주어지며, 수체
K
{\displaystyle K}
데데킨트 제타 함수는 다른 L-함수 와 마찬가지로 오일러 곱(Euler product)과 함수 방정식(functional equation)을 갖는다.
데데킨트 제타 함수는 다음과 같은 오일러 곱을 갖는다. 모든
Re
s
>
1
{\displaystyle \operatorname {Re} s>1}
s
∈
C
{\displaystyle s\in \mathbb {C} }
ζ
K
(
s
)
=
∏
p
∈
Spec
O
K
1
1
−
N
K
/
Q
(
p
)
−
s
{\displaystyle \zeta _{K}(s)=\prod _{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{K}}{\frac {1}{1-\operatorname {N} _{K/\mathbb {Q} }({\mathfrak {p}})^{-s}}}}
여기서
∏
p
∈
Spec
O
K
{\displaystyle \textstyle \prod _{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{K}}}
K
{\displaystyle K}
대수적 정수환
O
K
{\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}
소 아이디얼 들에 대한 곱이다.이는 수체의 대수적 정수환 은 데데킨트 정역 이고, 데데킨트 정역에서는 아이디얼이 소 아이디얼 로의 유일 소인수분해가 성립하기 때문이다.
데데킨트 제타 함수는 다음과 같은 함수 방정식을 갖는다. 감마 인자(gamma factor)를 다음과 같이 정의하자.
Γ
R
(
s
)
=
π
−
s
/
2
Γ
(
s
/
2
)
{\displaystyle \Gamma _{\mathbb {R} }(s)=\pi ^{-s/2}\Gamma (s/2)}
Γ
C
(
s
)
=
2
(
2
π
)
−
s
Γ
(
s
)
{\displaystyle \Gamma _{\mathbb {C} }(s)=2(2\pi )^{-s}\Gamma (s)}
여기서 Γ(s )는 감마 함수 이다. 그렇다면 다음을 정의하자.
Λ
K
(
s
)
=
|
Δ
K
|
s
/
2
Γ
R
(
s
)
r
R
Γ
C
(
s
)
r
C
ζ
K
(
s
)
{\displaystyle \Lambda _{K}(s)=\left|\Delta _{K}\right|^{s/2}\Gamma _{\mathbb {R} }(s)^{r_{\mathbb {R} }}\Gamma _{\mathbb {C} }(s)^{r_{\mathbb {C} }}\zeta _{K}(s)}
여기서
r
R
{\displaystyle r_{\mathbb {R} }}
K
{\displaystyle K}
r
C
{\displaystyle r_{\mathbb {C} }}
K
{\displaystyle K}
Δ
K
{\displaystyle \Delta _{K}}
K
{\displaystyle K}
판별식 이다.그렇다면 다음과 같은 함수 방정식이 성립한다. 모든
s
∈
C
{\displaystyle s\in \mathbb {C} }
Λ
K
(
s
)
=
Λ
K
(
1
−
s
)
{\displaystyle \Lambda _{K}(s)=\Lambda _{K}(1-s)}
Narkiewicz, Władysław (2004). 《Elementary and analytic theory of algebraic numbers》. Springer Monographs in Mathematics (영어) 3판. Berlin: Springer-Verlag. Chapter 7. ISBN 978-3-540-21902-6 MR 2078267 . 
