수체의 판별식

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대수적 수론에서, 수체 K판별식(判別式, 영어: discriminant)은 그 정수환 격자의 세포의 크기의 제곱이다. 수체의 기초적인 불변량 가운데 하나이다.

정의[편집]

수체 K의 정수환 O_K가 주어졌다고 하자. 이는 자유 아벨 군을 이루며, 따라서 기저 \{b_1,\dots,b_n\}\subset O_K를 잡을 수 있다. 또한, K복소수체 \mathbb C의 부분체로 매장하는 방법들 \sigma_1,\dots,\sigma_n\colon K\hookrightarrow \mathbb C을 나열하자. 이 두 집합들의 개수가 같음을 보일 수 있다. 그렇다면 K판별식 \Delta_K는 행렬 A_{ij}=\sigma_i(b_j)행렬식의 제곱이다. 즉, 다음과 같다.

\Delta_K=\left(\det\begin{pmatrix}
\sigma_1(b_1) & \sigma_1(b_2) &\cdots & \sigma_1(b_n) \\
\sigma_2(b_1) & \ddots & & \vdots \\
\vdots & & \ddots & \vdots \\
\sigma_n(b_1) & \cdots & \cdots & \sigma_n(b_n)
\end{pmatrix}\right)^2

이 값은 기저 \{b_i\}의 선택이나 \{\sigma_i\}의 순서에 관계없음을 보일 수 있다.

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이차 수체[편집]

이차 수체의 판별식은 다음과 같다. 제곱 없는 정수 d에 대하여,

\Delta_{\mathbb Q(\sqrt d)}=\begin{cases}d&d\equiv1\pmod4\\4d&d\equiv 2,3\pmod4\end{cases}

이다. 이차 수체의 판별식과 같은 정수를 기본 판별식(영어: fundamental discriminant)이라고 한다. 양의 기본 판별식들은 다음과 같다.

1, 5, 8, 12, 13, 17, 21, 24, … (OEIS의 수열 A003658)

음의 기본 판별식들은 다음과 같다.

−3, −4, −7, −8, −11, −15, −19, −20, … (OEIS의 수열 A003657)

원분체[편집]

n>2일 때, 원분체 \mathbb Q(\zeta_n)의 판별식은 다음과 같다.

\Delta_{\mathbb Q(\zeta_n)} = (-1)^{\varphi(n)/2}n^{\varphi(n)}\prod_{p|n} p^{-\varphi(n)/(p-1)}

여기서

성질[편집]

판별식은 분기화와 중요한 관계를 가진다. 수체 K에서 (유리수체의 확대로서) 분기화되는 소수들은 판별식 \Delta_K의 소인수들과 같다.

슈티켈베르거 정리(영어: Stickelberger’s theorem)에 따르면, 수체의 판별식은 4에 대한 나머지가 항상 0이나 1이다.

\Delta_K\equiv 0,1\pmod 4

민코프스키 정리에 따라, 유리수체가 아닌 수체의 판별식의 절댓값은 항상 2 이상이다.

|\Delta_K|\ge2\qquad(K\ne\mathbb Q)

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]