내적 범주

범주론에서 내적 범주(內的範疇, 영어: internal category)는 작은 범주의 정의에서 사용되는 집합의 범주를 대체하여, 임의의 범주 속에서 범주처럼 작동하는 구조이다. 작은 범주의 개념의 일반화이다.

정의

범주 ${\mathcal {C}}$가 유한 곱 및 당김을 갖는다고 하자. 그렇다면, ${\mathcal {C}}$ 속의 내적 범주(영어: internal category) $(O,M,i,s,t,c)$은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• $O\in {\mathcal {C}}$는 ${\mathcal {C}}$의 대상이다. 이는 범주 대상의 대상들의 "모임"이다.
• $M\in {\mathcal {C}}$는 ${\mathcal {C}}$의 대상이다. 이는 범주 대상의 사상들의 "모임"이다.
• $e\colon O\to M$은 ${\mathcal {C}}$의 사상이다. 이는 항등 사상을 나타낸다.
• $s\colon M\to O$는 ${\mathcal {C}}$의 사상이다. 이는 사상의 정의역을 나타낸다.
• $t\colon M\to O$는 ${\mathcal {C}}$의 사상이다. 이는 사상의 공역을 나타낸다.
• $M_{s}\times _{t}M$이 $M{\xrightarrow {s}}O{\xleftarrow {t}}M$의 당김이라면, $c\colon M_{s}\times _{t}M\to M$은 ${\mathcal {C}}$의 사상이다. 이는 사상의 합성을 나타낸다.

이 데이터는 다음과 같은 조건들을 만족시켜야 한다.

• (항등 사상의 정의역과 공역) $s\circ e=t\circ e=\operatorname {id} _{O}$. 즉, 다음 그림이 가환한다.

${\begin{matrix}M&{\xleftarrow {e}}&O&{\xrightarrow {e}}&M\\&{\scriptstyle s}\searrow &\downarrow \scriptstyle {\operatorname {id} _{O}}&\swarrow \scriptstyle t\\&&O\end{matrix}}$

• (합성 사상의 정의역과 공역) 다음 그림이 가환한다.

${\begin{matrix}M&{\xleftarrow {\pi _{1}}}&M_{s}\times _{t}M&{\xrightarrow {\pi _{2}}}&M\\{\scriptstyle t}\downarrow &&{\scriptstyle c}\downarrow &&\downarrow \scriptstyle s\\O&{\xleftarrow[{t}]{}}&M&{\xrightarrow[{s}]{}}&O\end{matrix}}$

• (합성의 결합 법칙) 다음 그림이 가환한다.

${\begin{matrix}M_{s}\times _{t}M_{s}\times _{t}M&{\xrightarrow {\operatorname {id} _{M}\times c}}&M_{s}\times _{t}M\\{\scriptstyle c\times \operatorname {id} _{M}}\downarrow &&\downarrow \scriptstyle c\\M_{s}\times _{t}M&{\xrightarrow[{c}]{}}&M\end{matrix}}$

• (항등원의 흡수 법칙) 다음 그림이 가환한다.

${\begin{matrix}O\times _{t}M&{\xrightarrow {e\times _{t}\operatorname {id} _{M}}}&M_{s}\times _{t}M&{\xleftarrow {\operatorname {id} _{M}{}_{s}\times e}}&M\times _{s}O\\&{\scriptstyle \pi _{2}}\searrow &\downarrow \scriptstyle c&\swarrow \scriptstyle \pi _{1}\\&&M\end{matrix}}$

내적 준군

유한 곱과 당김을 갖는 범주 ${\mathcal {C}}$ 속의 내적 준군(영어: internal groupoid) $(O,M,s,t,e,i)$은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• $(O,M,s,t,e)$는 내적 범주를 이룬다.
• $i\colon M\to M$은 사상이다. 이는 사상의 역원을 나타낸다.

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

• (역원의 정의역과 공역) 다음 그림이 가환한다.

${\begin{matrix}M&{{\xrightarrow {e}} \atop {\xleftarrow[{e}]{}}}&M\\&{\scriptstyle s}\searrow &\downarrow \scriptstyle t\\&&O\end{matrix}}$

• (역원의 존재) 다음 그림이 가환한다.

${\begin{matrix}M_{t}\times _{t}M&{\xleftarrow {\operatorname {diag} _{M}}}&M\\{\scriptstyle i\times \operatorname {id} }\downarrow &&&\searrow \scriptstyle s&\\M_{s}\times _{t}M&{\xrightarrow[{c}]{}}&M&{\xleftarrow[{e}]{}}&O\\{\scriptstyle \operatorname {id} \times i}\uparrow &&&\nearrow \scriptstyle t&\\M_{s}\times _{s}M&{\xleftarrow[{\operatorname {diag} _{M}}]{}}&M\\\end{matrix}}$

예

집합과 함수의 범주 $\operatorname {Set}$ 속의 내적 범주는 작은 범주이다.

군과 군 준동형의 범주 $\operatorname {Grp}$ 속의 내적 범주는 작은 범주의 범주 $\operatorname {Cat}$ 속의 군 대상과 사실상 같으며,^:269 교차 가군(영어: crossed module)이라고 불린다.^:285–287

외부 링크

• “Internal category”. 《nLab》 (영어). 2015년 2월 18일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 3월 12일에 확인함. 

같이 보기

• 군 대상