내적 범주

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범주론에서, 내적 범주(內的範疇, 영어: internal category)는 작은 범주의 정의에서 사용되는 집합의 범주를 대체하여, 임의의 범주 속에서 범주처럼 작동하는 구조이다. 작은 범주의 개념의 일반화이다.

정의[편집]

범주 가 유한 당김을 갖는다고 하자. 그렇다면, 속의 내적 범주(영어: internal category) 은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

  • 의 대상이다. 이는 범주 대상의 대상들의 "모임"이다.
  • 의 대상이다. 이는 범주 대상의 사상들의 "모임"이다.
  • 의 사상이다. 이는 항등 사상을 나타낸다.
  • 의 사상이다. 이는 사상의 정의역을 나타낸다.
  • 의 사상이다. 이는 사상의 공역을 나타낸다.
  • 당김이라면, 의 사상이다. 이는 사상의 합성을 나타낸다.

이 데이터는 다음과 같은 조건들을 만족시켜야 한다.

  • (항등 사상의 정의역과 공역) . 즉, 다음 그림이 가환한다.
  • (합성 사상의 정의역과 공역) 다음 그림이 가환한다.
  • (합성의 결합 법칙) 다음 그림이 가환한다.
  • (항등원의 흡수 법칙) 다음 그림이 가환한다.

내적 준군[편집]

유한 곱과 당김을 갖는 범주 속의 내적 준군(영어: internal groupoid) 은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

  • 는 내적 범주를 이룬다.
  • 은 사상이다. 이는 사상의 역원을 나타낸다.

이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.

  • (역원의 정의역과 공역) 다음 그림이 가환한다.
  • (역원의 존재) 다음 그림이 가환한다.

[편집]

집합과 함수의 범주 속의 내적 범주는 작은 범주이다.

군 준동형의 범주 속의 내적 범주는 작은 범주의 범주 속의 군 대상과 사실상 같으며,[1]:269 교차 가군(영어: crossed module)이라고 불린다.[1]:285–287

참고 문헌[편집]

  1. Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 5 2판. Springer. ISBN 978-1-4419-3123-8. ISSN 0072-5285. MR 1712872. Zbl 0906.18001. doi:10.1007/978-1-4757-4721-8. 

외부 링크[편집]

같이 보기[편집]