그로텐디크 군

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추상대수학에서, 그로텐디크 군(Grothendieck group)은 가환 반군으로 정의할 수 있는 아벨 군이다. 알렉산더 그로텐디크K-이론을 다루기 위하여 정의하였다.

정의[편집]

가 가환 모노이드라고 하자. 그렇다면 에 다음과 같은 동치관계를 정의하자.

. ()

이에 따라, 에 다음과 같은 아벨 군 구조가 존재한다.

.

아벨 군 를 반군 에 대한 그로텐디크 군이라고 한다.

그로텐디크 군 연산은 함자 (아벨 모노이드에서 아벨 군으로 가는 함자)를 이룬다. 이는 망각 함자(forgetful functor) 에 대한 왼쪽 수반 함자이다.

[편집]

자연수(음이 아닌 정수)의 집합은 덧셈에 대하여 가환 모노이드 를 이룬다. 이에 대하여 정의한 그로텐디크 군은 정수아벨 군 이다.

자연수의 집합은 곱셈에 대하여 가환 모노이드 를 이룬다. 이에 대하여 정의한 그로텐디크 군은 양의 유리수아벨 군 이다.

정수의 집합은 곱셈에 대하여 가환 반군 을 이룬다. 이에 대하여 정의한 그로텐디크 군은 자명군이다. 이는 이기 때문이다.