그로텐디크-리만-로흐 정리

대수기하학에서 그로텐디크-리만-로흐 정리(定理, 영어: Grothendieck–Riemann–Roch theorem)는 히르체브루흐-리만-로흐 정리의 상대적인 일반화이다.

정의

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

체 $K$
$K$ 위의 두 개의 준사영(영어: quasiprojective) 매끄러운 스킴 $X\to \operatorname {Spec} K$ 및 $Y\to \operatorname {Spec} K$
$K$ -스킴의 고유 사상 $f\colon X\to Y$ .

이 위에 다음과 같은 구조들을 정의하자.

$X$ $X$ 또는 $Y$ $Y$ 위의 저우 환 $\operatorname {A} (X)$ $\operatorname {A} (X)$ , $\operatorname {A} (Y)$ $\operatorname {A} (Y)$ . 여기에 유리수 계수를 취하여 $\operatorname {A} (X)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q}$ $\operatorname {A} (X)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q}$ 를 정의할 수 있다.
- 저우 환 사이의 밂 사상 $f_{*}\colon \operatorname {A} (X)\to \operatorname {A} (Y)$ . 이는 귀진 사상의 일종이며, 올에 대한 적분에 해당한다. 유리수 계수의 경우에도 마찬가지로 귀진 사상 $f_{*}\colon \operatorname {A} (X)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \to \operatorname {A} (Y)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q}$ 가 존재한다.
- 토드 특성류 $\operatorname {Td} (X)\in \operatorname {A} (X)\otimes \mathbb {Q}$ , $\operatorname {Td} (Y)\in \operatorname {A} (Y)\otimes \mathbb {Q}$ . 이는 $X$ 의 접다발의 천 특성류 $\operatorname {c} (X)\in \operatorname {A} (X)$ 의 성분들의 유리수 계수 선형 결합이다.
- 천 지표 $\operatorname {ch} \colon \operatorname {K} _{0}(X)\to \operatorname {A} (X)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q}$ . (천 특성류는 정수 계수 저우 환에 정의되지만, 천 지표를 정의하려면 유리수가 필요하다.)
$X$ $X$ 또는 $Y$ $Y$ 위의 연접층들의 범주 $\operatorname {Coh} (X)$ $\operatorname {Coh} (X)$ , $\operatorname {Coh} (Y)$ $\operatorname {Coh} (Y)$
- $X$ 위의 연접층의 $f$ 에 대한 상 $f_{*}\colon \operatorname {Coh} (X)\to \operatorname {Coh} (Y)$ . 이는 왼쪽 완전 함자이다.
- $X$ 위의 연접층의 $f$ 에 대한 상 $f_{*}\colon \operatorname {Coh} (X)\to \operatorname {Coh} (Y)$ 의 오른쪽 유도 함자 $\operatorname {R} ^{\bullet }f_{*}\colon \operatorname {Coh} (X)\to \operatorname {Coh} (Y)$ .
$X$ $X$ 위의 연접층들의 그로텐디크 군 $\operatorname {K} _{0}(X)$ $\operatorname {K} _{0}(X)$ . 이는 K이론에서 0차 K군이다.
- 그로텐디크 군에서도 연접층의 상(의 유도 함자)를 정의할 수 있다. 즉, $\operatorname {R} ^{\bullet }f_{*}\colon \operatorname {K} _{0}(X)\to \operatorname {K} _{0}(Y)$ .
- 그로텐디크 군에서는 부호를 붙인 직합 $f_{!}=\bigoplus _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}\operatorname {R} ^{i}f_{i}\colon \operatorname {K} _{0}(X)\to \operatorname {K} _{0}(Y)$ 를 정의할 수 있다.