히르체브루흐-리만-로흐 정리

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수학에서, 히르체브루흐-리만-로흐 정리(영어: Hirzebruch–Riemann–Roch theorem)는 리만-로흐 정리를 임의의 차원의 복소다양체 위의 일반적인 해석적 벡터다발로 일반화한 정리다.

정의[편집]

콤팩트 복소다양체 위에 해석적 벡터다발 가 있다고 하자. 그렇다면 코호몰로지와, 이에 대응하는 오일러 지표 를 정의할 수 있다. 히르체브루흐-리만-로흐 정리에 따르면, 이는 다음과 같다.

여기서 천 지표, 접다발토드 특성류다.

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리만 곡면이라고 하고, 인자류 에 대응하는 해석적 선다발이라고 하자. 그렇다면

이다. 따라서 히르체브루흐-리만-로흐 정리는

이다. 복소1차원에서, 오일러 특성류이므로, 오일러 지표

이다. 여기서 의 종수(genus)다. 또한,

이다. 또한,

이고, 세르 쌍대성에 의하여

(표준 선다발의 인자)이므로, 리만-로흐 정리

를 얻는다.

오일러 지표[편집]

복소수 차원 콤팩트 켈러 다양체 의 경우, 오일러 지표돌보 코호몰로지를 통해 계산할 수 있다. 구체적으로,

이다. 여기서 호지 수이며, 의 복소수 공변접다발이다.

분할 원리(영어: splitting principle)에 따라, 을 구성하는 복소수 선다발들의 1차 천 특성류

라고 하자. 즉, 공변접다발을 구성하는 복소수 선다발들의 1차 천 특성류는 이다. 그렇다면,

의 천 지표는 다음과 같다.

즉,

이다. 따라서, 의 오일러 지표는 히르체브루흐-리만-로흐 정리를 통해 다음과 같이 계산할 수 있다.

즉, 의 최고차 천 수이다. 복소다양체의 경우 최고차 천 특성류는 오일러 특성류와 같으므로, 이는 오일러 지표를 올바르게 계산한다.

역사[편집]

프리드리히 히르체브루흐가 1954년에 증명하였다.[1]

참고 문헌[편집]

  1. Hirzebruch, F. (1954년 2월 1일). “Arithmetic genera and the theorem of Riemann–Roch for algebraic varieties”. 《Proceedings of the National Academy of Sciences》 (영어) 40 (2): 110–114. doi:10.1073/pnas.40.2.110. ISSN 0027-8424. 

같이 보기[편집]