히르체브루흐-리만-로흐 정리

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수학에서, 히르체브루흐-리만-로흐 정리(영어: Hirzebruch–Riemann–Roch theorem)는 리만-로흐 정리를 임의의 차원의 복소다양체 위의 일반적인 해석적 벡터다발로 일반화한 정리다.

정의[편집]

콤팩트 복소다양체 X 위에 해석적 벡터다발 E\to X가 있다고 하자. 그렇다면 E코호몰로지와, 이에 대응하는 오일러 지표 \chi(E)를 정의할 수 있다. 히르체브루흐-리만-로흐 정리에 따르면, 이는 다음과 같다.

\chi(E)=\int_X\operatorname{ch}(E)\operatorname{Td}(X)

여기서 \operatorname{ch}(E)E천 지표, \operatorname{Td}(X)X접다발토드 특성류다.

[편집]

X리만 곡면이라고 하고, E\to M인자류 [D]에 대응하는 해석적 선다발이라고 하자. 그렇다면

\chi(E)=h^0(E)-h^1(E)
\operatorname{ch}(E)=1+c_1(E)
\operatorname{Td}(X)=1+c_1(X)/2

이다. 따라서 히르체브루흐-리만-로흐 정리는

h^0(E)-h^1(E)=\int_X(c_1(E)+c_1(X)/2)

이다. 복소1차원에서, 오일러 특성류c_1이므로, c_1(X)X오일러 지표

\int_Xc_1(X)=\chi(X)=2-2g

이다. 여기서 gX의 종수(genus)다. 또한,

\int_Xc_1(E)=\deg D

이다. 또한,

h^0(E)=I(D)

이고, 세르 쌍대성에 의하여

h^1(E)=h^0(\mathcal O(K)\otimes E^{-1})=I(K-D)

(K표준 선다발의 인자)이므로, 리만-로흐 정리

I(D)-I(K-D)=\deg D+1-g

를 얻는다.

오일러 지표[편집]

복소수 n차원 콤팩트 켈러 다양체 M의 경우, 오일러 지표돌보 코호몰로지를 통해 계산할 수 있다. 구체적으로,

\chi(M)=\sum_{p,q}(-1)^{p+q}h^{p,q}(M)=\sum_n(-1)^p\chi\left(\bigwedge^pT_{\mathbb C}^*M\right)

이다. 여기서 h^{p,q}(M)호지 수이며, T_{\mathbb C}^*MM의 복소수 공변접다발이다.

분할 원리(영어: splitting principle)에 따라, T_{\mathbb C}M을 구성하는 복소수 선다발들의 1차 천 특성류

(x_i)_{i=1,\dots,n}

라고 하자. 즉, 공변접다발을 구성하는 복소수 선다발들의 1차 천 특성류는 -x_i이다. 그렇다면,

\bigwedge^pT_{\mathbb C}^*M

의 천 지표는 다음과 같다.

\operatorname{ch}\left(\bigwedge^pT_{\mathbb C}^*M\right)=\sum_{I\subseteq\{1,2,\dots,n\}}^{|I|=p}\prod_{i\in I}\exp(-x_i)

즉,

\sum_{p=0}^n(-1)^p\operatorname{ch}\left(\bigwedge^pT_{\mathbb C}^*M\right)=\prod_{i=1}^n(1-\exp(-x_i))

이다. 따라서, M의 오일러 지표는 히르체브루흐-리만-로흐 정리를 통해 다음과 같이 계산할 수 있다.

\chi(M)=\int_M\operatorname{Td}(TM)\sum_{p=0}^n(-1)^p\operatorname{ch}\left(\bigwedge^pT_{\mathbb C}^*M\right)
=\int_M\prod_{i=1}^n\frac{x_i}{1-\exp(-x_i)}(1-\exp(-x_i))
=\int_M\prod_{i=1}^nx_i=\int_Mc_n(TM)

즉, M의 최고차 천 수이다. 복소다양체의 경우 최고차 천 특성류는 오일러 특성류와 같으므로, 이는 오일러 지표를 올바르게 계산한다.

역사[편집]

프리드리히 히르체브루흐가 1954년에 증명하였다.[1]

참고 문헌[편집]

  1. Hirzebruch, F. (1954년 2월 1일). “Arithmetic genera and the theorem of Riemann–Roch for algebraic varieties” (영어). 《Proceedings of the National Academy of Sciences》 40 (2): 110–114. doi:10.1073/pnas.40.2.110. ISSN 0027-8424. 

같이 보기[편집]