아티야-싱어 지표 정리

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미분기하학에서, 아티야-싱어 지표 정리(-指標定理, 영어: Atiyah–Singer index theorem)는 타원 복합체의 지표를 위상학적인 데이터로 계산할 수 있다는 정리다.[1][2][3]:§10–11[4][5][6][7]:§12.8, 477–480; §12.10, 487–500[8][9] 히르체브루흐-리만-로흐 정리가우스-보네 정리 등을 일반화한다.

정의[편집]

차원 콤팩트 매끄러운 다양체이고, 위의 매끄러운 벡터 다발들이라고 하자. 위의 타원 복합체

해석적 지표(analytical index)는 다음과 같다.

이는 순수하게 해석적인 데이터로 정의된 값이다. 여기서 프레드홀름 지표이다.

타원 복합체의 위상 지표(영어: topological index)는 다음과 같다.

여기서

  • 매끄러운 벡터 다발천 지표이다.
  • 접다발 의 복소화의 토드 특성류이다.
  • 접다발 오일러 특성류이다.

이 지표는 순수하게 위상수학적인 데이터로 정의된 값이다.

아티야-싱어 지표 정리에 따르면, 타원 복합체의 해석적 지표와 위상 지표는 같다.

여기서, 이 홀수인 경우 (미분 연산자에 대하여) 양변 모두 0이다(다만, 유사 미분 연산자에 대한 경우 홀수 차원에서도 자명하지 않은 결과를 도출할 수 있다).

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수많은 유명한 정리들을 아티야-싱어 지표 정리의 특수한 경우로 얻을 수 있다.

오일러 지표[편집]

콤팩트 유향 다양체라고 하고, 지표 정리를 (복소화한) 드람 복합체

에 적용시키자. 드람 복합체의 해석적 지표는 다양체의 오일러 지표 이다. 그 위상 지표는 오일러 특성류 의 적분이다. 즉, 이에 따라 천-가우스-보네 정리(영어: Chern–Gauss–Bonnet theorem)

를 얻는다.

히르체브루흐-리만-로흐 정리[편집]

아티야-싱어 지표 정리를 돌보 복합체에 적용시키면 히르체브루흐-리만-로흐 정리를 얻게 된다. 복소다양체라고 하고, 그 위에 해석적 벡터 다발 가 주어졌다고 하자. 지표 정리를 돌보 복합체

에 적용시키자. 돌보 복합체의 해석적 지표는 코호몰로지오일러 지표

이고, 그 위상 지표는

이다. 따라서 이는 히르체브루흐-리만-로흐 정리가 된다.

가 0차원 벡터 다발인 경우, 그 오일러 지표는 복소다양체의 산술 종수 이다. 따라서, 복소다양체의 산술 종수는 복소 접다발토드 특성류의 적분에 의하여 주어진다.

디랙 연산자[편집]

이 짝수 차원의 스핀 다양체라고 하고, 그 위에 스피너 다발

을 생각하자. 그렇다면 디랙 연산자

는 다음과 같이 작용한다.

이에 따라, 디랙 연산자 의 지표는 아티야-싱어 지표 정리에 따라 다음과 같다.

여기서 디랙 종수(영어: Dirac genus) 또는 Â 종수(영어: Â-genus 에이 햇 지너스[*])라고 불리는 특성류로,

이다. 여기서 폰트랴긴 특성류이고, 2차 미분 형식들의 행렬인 곡률 고윳값

이다. 일반적으로, 디랙 종수는 스핀 다양체가 아닌 다른 다양체의 경우 정수가 아닐 수 있다.

역사[편집]

마이클 아티야이자도어 싱어가 1963년에 발표하였다.[10][11][12][13][14] 부분적으로 이 공로로 마이클 아티야는 1966년 필즈상을 수상하였다.[15] 이 공로로 마이클 아티야이자도어 싱어는 2004년 아벨상을 수상하였다.[16][17][18]

1983년에 루이스 알바레스가우메(스페인어: Luis Álvarez-Gaumé)가 아티야-싱어 지표 정리가 초대칭 양자역학과 깊은 관계가 있다는 사실을 밝혔고, 이를 이용하여 아티야-싱어 정리를 새롭게 증명하였다.[19][20] 이 증명은 그 뒤 에즈라 게츨러(영어: Ezra Getzler)가 수학적으로 엄밀하게 제시하였다.[21] 즉, 디랙 연산자의 경우, 그 해석적 지표는 단순히 위튼 지표에 불과하여, 초대칭 양자역학을 사용해 계산할 수 있다.

참고 문헌[편집]

  1. 조용승 (2012). 《지표이론》. 경문사. ISBN 978-89-6105-622-9. 
  2. 지동표 (1983년 11월 1일). 《국소적 형태의 Atiyah-Singer 지표이론》. 민음사. ISBN 89-374-3509-8. 
  3. 조용승 (1999년 4월 20일). 《다양체의 미분위상수학》. 아르케. ISBN 978-89-88791-11-0. 
  4. 김홍종 (1996). 〈6. 아티야-싱어의 지표 이론〉. 《이론물리의 수학적 접근》. 대우학술총서 공동연구 37. 민음사. 163–188쪽. ISBN 89-37445-34-4. 
  5. Shanahan, Patrick (1978). 《The Atiyah–Singer index theorem: an introduction》. Lecture Notes in Mathematics (영어) 638. Springer. ISBN 978-3-540-08660-4. ISSN 0075-8434. doi:10.1007/BFb0068264. 
  6. Melrose, Richard B. (1993년 3월 31일). 《The Atiyah–Patodi–Singer index theorem》 (PDF). Research Notes in Mathematics (영어) 4. A. K. Peters/CRC Press. ISBN 978-1-568-81002-7. 
  7. Nakahara, Mikio (2003년 6월 4일). 《Geometry, topology and physics》 (영어) 2판. Taylor & Francis. ISBN 978-0-7503-0606-5. doi:10.1201/9781420056945. 
  8. Booß, Bernheim; David D. Bleecker (1985). 《Topology and analysis: the Atiyah–Singer index formula and gauge-theoretic physics》. Universitext (영어). Springer. ISBN 978-0-387-96112-5. ISSN 0172-5939. MR 0771117. doi:10.1007/978-1-4684-0627-6. 
  9. Palais, Richard S.; Atiyah, Michael F.; Borel, A.; Floyd, E. E.; Seeley, R. T.; Shih, W.; Solovay, Robert (1965). 《Seminar on the Atiyah–Singer index theorem》 (PDF). Annals of Mathematics Studies (영어) 57. Princeton University Press. ISBN 9780691080314. MR 0198494. 
  10. Atiyah, M. F.; Singer, Isadore M. (1963). “The index of elliptic operators on compact manifolds”. 《Bulletin of the American Mathematical Society》 (영어) 69: 422–433. doi:10.1090/S0002-9904-1963-10957-X. 
  11. Atiyah, M. F.; Singer, Isadore M. (1968a). “The index of elliptic operators I”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 87 (3): 484–530. JSTOR 1970715. doi:10.2307/1970715. 
  12. Atiyah, M. F.; Singer, Isadore M. (1968b). “The index of elliptic operators III”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 87 (3): 546–604. JSTOR 1970717. doi:10.2307/1970717. 
  13. Atiyah, M. F.; Singer, Isadore M. (1971). “The index of elliptic operators IV”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 93 (1): 119–138. JSTOR 1970756. doi:10.2307/1970756. 
  14. Atiyah, M. F.; Singer, Isadore M. (1971). “The index of elliptic operators V”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 93 (1): 139–149. JSTOR 1970757. doi:10.2307/1970757. 
  15. Albers, Donald J.; Alexanderson, G. L.; Reid, Constance (1986). 《International mathematical congresses: An illustrated history 1893–1986》 (영어) 개정판. New York: Springer-Verlag. 
  16. “Atiyah and Singer Receive 2004 Abel Prize” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 51 (6): 649–650. 2004년 6월. 
  17. Hitchin, Nigel (2010). 〈The Atiyah–Singer index theorem〉. 《The Abel Prize 2003–2007: the first five years》 (영어). Springer-Verlag. 117–152쪽. ISBN 978-3-642-01372-0. doi:10.1007/978-3-642-01373-7_7. 
  18. Raussen, Martin; Skau, Christian (2005년 2월). “Interview with Michael Atiyah and Isadore Singer” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 52 (2): 223–231. 
  19. Alvarez-Gaumé, Luis (1983). “Supersymmetry and the Atiyah-Singer index theorem”. 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 90 (2): 161–173. doi:10.1007/BF01205500. 
  20. Alvarez-Gaumé, Luis (1984년 3월). “Supersymmetry and the Atiyah-Singer index theorem”. 《Physica A: Statistical Mechanics and its Applications》 (영어) 124 (1–3): 29–45. doi:10.1016/0378-4371(84)90224-3. 
  21. Getzler, Ezra (1986). “A short proof of the local Atiyah-Singer index theorem” (PDF). 《Topology》 25 (1): 111–117. MR 836727. doi:10.1016/0040-9383(86)90008-X. 

외부 링크[편집]