디랙 연산자

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

미분기하학이론물리학에서, 디랙 연산자(영어: Dirac operator)는 라플라스 연산자의 제곱근인 미분 연산자이다.

정의[편집]

리만 다양체 위에 벡터 다발

이 있다고 하자. 또한, 벡터 다발에 코쥘 접속

이 존재해, 라플라스 연산자

를 정의할 수 있다고 하자.

디랙 연산자

를 만족시키는 미분작용소이다. 디랙 연산자를 정의하려면, 를 보다 큰 다발 로 확대시키는 것이 용이할 수 있다. 예를 들어, 벡터장의 디랙 연산자를 정의하려면, 접다발을 스피너 다발로 확대시켜야 한다.

[편집]

곡선 위의 벡터다발[편집]

계량이 주어진 곡선 위의 다발 의 경우, 디랙 연산자는 단순히

이다.

접다발[편집]

리만 다양체 위의 접다발 에는 자연스러운 레비치비타 접속이 존재한다. 만약 스핀 다양체라면, 접다발을 (디랙) 스피너 다발

으로 확장시켜 디랙 연산자를 정의할 수 있다. 차원 복소 벡터다발이다. 스피너 다발의 올은 복소 클리퍼드 대수 이며, 그 기저

의 꼴이다. 이들은 클리퍼드 곱

을 따른다. 이 경우 매장

의 꼴이다. 이 경우 디랙 연산자는

이다. 즉,

이다.

참고 문헌[편집]