스핀 다양체

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미분위상수학에서, 스핀 다양체(spin多樣體, 영어: spin manifold)는 스피너장을 정의할 수 있는 다양체다.[1][2] 즉, 직교 틀다발 을 이중 피복 공간 에 대하여 적절히 주다발 으로 확장할 수 있는 가향 () 리만 다양체다.

정의[편집]

임의의 두 자연수 에 대하여, 스핀 군에서 특수 직교군으로 가는 표준적인 2겹 전사 군 준동형

이 존재한다.

파라콤팩트 공간 위의 -주다발 위의 스핀 구조(spin構造, 영어: spin structure)란 다음 데이터로 구성된다.

  • Spin(p,q)-주다발
  • 이중 피복 공간

이 데이터는 다음 두 조건을 만족시켜야 한다.

  • 임의의 , 에 대하여 이다. (여기서 주다발 위의 군의 작용이다.) 즉, 군의 작용와 가환한다.

파라콤팩트 공간 위의 유향(有向) 벡터 다발 위의 스핀 구조직교 틀다발 위의 스핀 구조이다.

매끄러운 다양체 위의 스핀 구조는 그 접다발 (의 틀다발) 위의 스핀 구조이다. 스핀 다양체는 스핀 구조를 지닌 가향 준 리만 다양체다.

스피너 다발[편집]

라고 하고, 스핀 군 -선형 표현

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 인 복소수 연관 벡터 다발

을 정의할 수 있다.

특히, 는 항상 차원 복소수 표현(디랙 스피너)을 갖는다. 이에 대응되는 복소수 벡터 다발디랙 스피너 다발 이라고 한다. 만약 가 짝수라면, 디랙 스피너는 왼쪽·오른쪽 바일 스피너의 직합으로 표현되며, 디랙 스피너 다발은 다음과 같은 두 바일 스피너 다발의 직합으로 분해된다.

만약 라면, 마찬가지로 마요라나 스피너 다발 을 정의할 수 있다. 이는 실수 벡터 다발이며,

이다. 만약 가 8의 배수라면, 마요라나-바일 스피너 다발 이 존재하며,

이다.

스핀 다양체 위의 스피너장(spinor場, 영어: spinor field)은 스피너 다발의 매끄러운 단면이다.

성질[편집]

가향 다양체 위에 스핀 구조가 존재할 필요 충분 조건은 2차 슈티펠-휘트니 특성류

가 0인지 여부이다.[3]:115, Proposition 3.34

분류[편집]

만약 매끄러운 다양체 위에 스핀 구조가 존재한다면, 그 스핀 구조들의 집합은 코호몰로지류 의 집합과 일대일 대응한다.[3]:115, Proposition 3.34 이 대응성은 표준적(canonical)이지 않으며, 구체적으로 스핀 구조들의 집합은 에 대한 아핀 공간이다.

직관적으로 해석하면, 축약 불가능 폐곡선들을 따라 스피너평행 운송하였을 때 그 부호가 ±인지 여부가 스핀 구조를 결정짓는다. 이는 양자장론에서 페르미온의 라몽 경계 조건(영어: Ramond boundary condition, +) 및 느뵈-슈워츠 경계 조건(영어: Neveu–Schwartz boundary condition, −)의 선택에 대응한다.

[편집]

다음과 같은 다양체들은 적어도 하나의 스핀 구조를 갖는다.

  • 종수 g의 콤팩트 리만 곡면은 22g개의 스핀 구조를 갖는다. 이들은 대수기하학에서 세타 지표(영어: theta characteristic)라고 불린다.
  • 모든 3차원 이하 콤팩트 유향 다양체는 스핀 구조를 갖는다.
  • 초구 Sn는 모두 스핀 구조를 갖는다. 일 때 이는 유일하며, 원 은 두 개의 스핀 구조를 갖는다.
  • 홀수 차원 복소수 사영 공간 은 스핀 구조를 갖는다.
  • 모든 칼라비-야우 다양체는 스핀 구조를 갖는다.

다음과 같은 다양체들은 스핀 구조를 하나도 가지지 않는다.

  • 짝수 차원 복소수 사영 공간 은 스핀 구조를 갖지 않는다.

낮은 차원의 벡터 다발의 스핀 구조[편집]

0차원에서는 Spin(0) = SO(0)이므로, 스핀 구조는 자명하다. 이는 1차원에서도 마찬가지다.

2차원에서는 Spin(2) = U(1) = SO(2)이지만, 이 경우 Spin(2)는 SO(2)의 2겹 피복이다. 이를 2차원 벡터 다발로 여길 경우, SO(2)=U(1) 구조를 갖는 2차원 벡터 다발은 에르미트 계량을 가진 복소수 선다발에 해당한다. 이 경우, 이 복소수 선다발 의 스핀 구조는 복소수 선다발의 (텐서곱에 대한) 제곱근, 즉

이 되는 복소수 선다발 에 해당한다.

참고 문헌[편집]

  1. Lawson, H. Blaine; Marie-Louise Michelsohn (1989). 《Spin Geometry》. Princeton Mathematical Series (영어) 38. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08542-5. 
  2. Friedrich, Thomas (2000). 《Dirac Operators in Riemannian Geometry》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 25. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2055-1. 
  3. Berline, N.; Getzler, E.; Vergne, M. (1992). 《Heat kernels and Dirac operators》. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (영어) 298. Springer-Verlag. 

같이 보기[편집]

외부 링크[편집]