스핀 다양체

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미분기하학에서, 스핀 다양체(spin多樣體, 영어: spin manifold)는 스피너장을 정의할 수 있는 다양체다. 즉 틀다발 을 이중 피복 공간 에 대하여 적절히 주다발 으로 확장할 수 있는 가향 () 리만 다양체다.

스핀 구조[편집]

차원 가향 () 리만 다양체 위의 스핀 구조(영어: spin structure)는 다음을 만족하는 Spin(n)-주다발 과 이중 피복 공간 으로 구성된다.

  • 임의의 , 에 대하여 이다. (여기서 은 적절한 군의 작용이다.) 즉 군의 작용은 와 가환한다.

여기서 군 준동형이고, 접다발 계량 텐서 에 대하여 불변인 회전 (로런츠) 변환으로 이루어진 (또는 부호수에 따라 ) 주다발이다.

스핀 다양체는 스핀 구조를 지닌 가향 () 리만 다양체다.

차원의 (적절한 부호수를 지닌) 스피너의 복소 벡터 공간이라고 부르자. 스핀 군은 스피너 공간에 유니터리하게 작용한다. 즉 이다. 이에 따라, 그 인 복소 벡터 다발

을 정의할 수 있다. 이를 스피너 다발(영어: spinor bundle)이라고 한다. 스핀 다양체 위의 스피너장(영어: spinor field)은 스피너 다발의 단면이다.

존재 조건[편집]

다양체 위에 스핀 구조가 존재할 필요충분조건은 2차 슈티펠-휘트니 특성류(Stiefel-Whitney class)

가 0인지 여부이다.

분류[편집]

만약 매끄러운 다양체 위에 스핀 구조가 존재한다면, 그 스핀 구조들의 집합은 코호몰로지류 의 집합과 일대일 대응한다. 이 대응성은 표준적(canonical)이지 않으며, 구체적으로 스핀 구조들의 집합은 에 대한 아핀 공간이다.

직관적으로 해석하면, 축약불가능 폐곡선들을 따라 스피너평행 운송하였을 때 그 부호가 ±인지 여부가 스핀 구조를 결정짓는다. 이는 양자장론에서 페르미온의 라몽 경계 조건(영어: Ramond boundary condition, +) 및 느뵈-슈워츠 경계 조건(영어: Neveu–Schwartz boundary condition, −)의 선택에 대응한다.

스핀C 구조[편집]

스핀C 군(spinc group) 은 다음 짧은 완전열을 만족한다.

.

여기서 는 다음 두 군 준동형대각 사상이다.

따라서, 스핀C 군은 다음과 같은 짧은 완전열 또한 만족시킨다.

.

스핀C 구조(spinc structure)의 정의는 스핀 구조의 정의와 유사하지만, 스핀 군 대신 스핀C 군을 사용한다.

존재 조건[편집]

다양체 위에 스핀C 구조가 존재할 필요충분조건은 3차 정수 슈티펠-휘트니 특성류

가 0인지 여부이다. 여기서 복시테인 준동형

이다.

분류[편집]

만약 다양체 위에 스핀C 구조가 존재할 수 있다면, 가능한 스핀C 구조들은 와 비표준적으로(noncanonically) 일대일 대응한다.

이는 직관적으로 다음과 같이 해석할 수 있다. 아벨 군짧은 완전열

을 생각하자. 이에 따라, 지그재그 보조정리를 사용하여 다음과 같은 긴 완전열이 존재한다.

여기서 복시테인 준동형이다.

스핀C 구조는 원래 방해물(obstruction)에 막혀 스핀 구조를 이루지 못하는 구조를, 같은 방해물에 막혀 U(1) 주다발을 이루지 못하는 구조로 뒤틀어(twist) 만든 것이다. U(1) 주다발들은 그 천 특성류 에 의하여 분류된다. 이는 위 긴 완전열에서 첫 에 해당하며, 이는 두 번째 에서 에 해당한다. 반면, 방해물에 막힌 U(1) "주다발"은 두 번째 에서 에 속하지 않은 원소들이다. 이 원소를 라고 하자. 스핀 구조의 방해물은 2차 슈티펠-휘트니 특성류 이므로, 이 방해물이 U(1) "주다발"의 방해물 와 같으려면 에 따른 이어야 한다. 완전열의 성질에 의하여, 이 조건은 복시테인 준동형에 따른 상 인 조건과 동치이다.

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다음과 같은 다양체들은 적어도 하나의 스핀 구조를 갖는다.

다음과 같은 다양체들은 스핀 구조를 하나도 가지지 않는다.

  • 짝수 차원 복소수 사영 공간 은 스핀 구조를 갖지 않는다.

다음과 같은 다양체들은 적어도 하나의 스핀C 구조를 갖는다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]