스핀 접속

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미분기하학일반 상대성 이론에서, 스핀 접속(spin接續, 영어: spin connection)은 스피너 다발 위에 존재하는 코쥘 접속이다. 아핀 접속으로부터 정의할 수 있다.

정의[편집]

다음이 주어졌다고 하자.

  • 매끄러운 다양체
  • 접다발 코쥘 접속
  • 위의 (국소) 필바인

필바인 지수, 가 시공간 벡터 지수를 나타낸다고 하자.

그렇다면, 각 점에서 필바인은 접공간의 기저를 이루므로, 다음을 정의할 수 있다.

즉,

여기서 는 (로 정의된 리만 계량에 대한) 크리스토펠 기호, 필바인이다.

이는 1차 미분 형식들로 이루어진 반대칭 행렬로 여겨질 수 있다. 즉,

이다. 여기서 는 필바인 위의 이차 형식(계량)이다.

스피너 다발의 접속[편집]

스핀 접속은 이름과 같이 스피너 다발의 접속의 성분을 구성한다. 구체적으로, 다음이 주어졌다고 하자.

  • 부호수 준 리만 다양체 . 그 틀다발이라고 하자. 즉, 이다.
  • 스핀 구조, 즉 으로의 올림 .

그렇다면, (디랙) 스피너 다발

을 정의할 수 있다. 이는 차원 복소수 벡터 다발이다.

그렇다면, 위에는 다음과 같은 코쥘 접속이 존재한다. 성분으로서 이는 다음과 같다.

여기서

위의 표현이다.

성질[편집]

만약 비틀림이 없는 경우, 스핀 접속은 다음을 만족시킨다.

여기서 1차 미분 형식외미분, 는 두 1차 미분 형식쐐기곱이다.

외부 링크[편집]