스핀 접속

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미분기하학일반 상대성 이론에서, 스핀 접속(spin connection)은 스피너 다발 위에 존재하는 접속이다. 아핀 접속으로부터 정의할 수 있다.

정의[편집]

아핀 접속이 주어진 D차원 미분다양체에서, a,b,c,\dots필바인 지수, \mu,\nu,\rho,\dots가 시공간 벡터 지수를 나타낸다고 하자. 스핀 접속 \omega_\mu{}^a{}_b1차 미분형식들로 이루어진 D\times D 반대칭 행렬이다. 즉, \eta_{ac}\omega_\mu{}^c{}_b=-\eta_{bc}\omega_{\mu}{}^c{}_a이다.

\omega는 다음과 같이 정의된다.

\omega_\mu{}^a{}_b=e_\nu^a\partial_\mu e^\nu_b
+e_\nu^a\Gamma^\rho_{\mu\nu}e^\rho_b
.

여기서 \Gamma^\rho_{\mu\nu}크리스토펠 기호, e_\mu^a필바인이다.

만약 비틀림이 없는 경우, 이는 다음을 만족한다.

(de^a)_{\mu\nu}+(\omega^a{}_b\wedge e^b)_{\mu\nu}=0.

여기서 d는 미분형식의 외미분, \wedge는 미분형식의 쐐기곱이다.