크리스토펠 기호

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크리스토펠 기호(Christoffel記號, 독일어: Christoffelsymbole, 영어: Christoffel symbol)는 레비치비타 접속의 성분을 나타내는 기호다. 레비치비타 접속으로 정의된 공변 미분과 주어진 좌표에 대한 편미분의 차로 생각할 수 있다. 기호는 그리스 대문자 감마(Γ)다. 간혹 제1종 및 제2종 크리스토펠 기호를 구분하기도 한다. 이름과는 달리, 제2종이 더 근본적인 개념이다.

의의[편집]

리만 다양체 (M,g)를 생각하자. 그렇다면, \nabla g=0이고 꼬임이 없는 유일한 아핀 접속 \nabla가 존재한다.이를 레비치비타 접속(Levi-Civita connexion)이라고 부른다.

정의[편집]

국소 좌표계 xi, (i = 1, 2, ..., n)가 n차원 다양체 M위에 주어지고, 그 계량 텐서g일 때, 그 접벡터

\mathrm{e}_i = \frac{\partial}{\partial x^i}=\partial_i , \quad i=1,2,\dots,n

에 의해 접공간 M의 정의역 각 점에서 국소 좌표계의 기저가 정의된다.

제1종 크리스토펠 기호[편집]

제1종 크리스토펠 기호는 제2종 크리스토펠 기호와 계량 텐서로부터 유도되어

\Gamma_{cab} = g_{cd} \Gamma^{d}{}_{ab}\,,

처럼 정의될 수 있으며, 또는 그 자체로써,

\Gamma_{cab}
=\frac12 \left(\frac{\partial g_{ca}}{\partial x^b} + \frac{\partial g_{cb}}{\partial x^a} - \frac{\partial g_{ab}}{\partial x^c} \right)
= \frac12\, (g_{ca, b} + g_{cb, a} - g_{ab, c})
= \frac12\, \left(\partial_{b}g_{ca} + \partial_{a}g_{cb} - \partial_{c}g_{ab}\right) \,.

처럼 정의될 수도 있다[1].

다른 표기 방법으로

\Gamma_{cab} = [ab, c].

로 표기하기도 한다. [2][3][4]

[ab, c] = [ba, c]라는 점은 주목할 필요가 있다.[5]

제2종 크리스토펠 기호[편집]

제2종 크리스토펠 기호는 한 좌표 기저에서 레비치비타 접속의 접속 계수이며, 이 접속은 비틀림이 0이기 때문에, 그 기저의 접속 계수 또한 대칭이다. 다시 말해,

\Gamma^k{}_{ij}=\Gamma^k{}_{ji}\,

이 성립한다.[6] 그런 이유에서 비틀림 없는 접속을 흔히 ‘대칭’이라고 한다.

다시 말해서 제2종 크리스토펠 기호 \Gamma^k{}_{ij}는 (때로는 \Gamma^{k}_{ij} 또는 \{\begin{smallmatrix} k\\ ij \end{smallmatrix}\}로도 표기한다[7][6])

\nabla_i \mathrm{e}_j = \Gamma^k{}_{ij}\mathrm{e}_k

가 성립되는 유일한 접속으로 정의되는데 여기서 \nabla_i M에서 좌표방향 \mathrm{e}_{i}로의 레비치비타 접속이며, 이것은 \nabla_i\equiv \nabla_{\mathrm{e}_i}일 때를 뜻하고, \mathrm{e}_i=\partial_i는 국소 좌표의 홀로노믹 기저이다[2][6].

크리스토펠 기호는 공변 미분계량 텐서 g_{ik}\ 에 의해 표현될 수 있는데,

0 = \nabla_\ell g_{ik}
= \frac{\partial g_{ik}}{\partial x^\ell}- g_{mk}\Gamma^m{}_{i\ell} - g_{im}\Gamma^m{}_{k\ell}
= \frac{\partial g_{ik}}{\partial x^\ell}- 2g_{mk}\Gamma^m{}_{i\ell}

이다.

더 짧은 표기법으로, 나블라 기호와 편미분 기호를 생략하여, 세미콜론과 콤마와 미분하는 첨자를 표기하여

0 = \,g_{ik;\ell} = g_{ik,\ell} - g_{mk} \Gamma^m{}_{i\ell} - g_{im} \Gamma^m{}_{k\ell}

와 같이도 쓴다.

아래 두 첨자에 대해 대칭이라는 점을 이용하여, 크리스토펠 기호를 계량 텐서의 함수로 나타낼 수 있는데,

\Gamma^i{}_{k\ell}=\frac{1}{2}g^{im} \left(\frac{\partial g_{mk}}{\partial x^\ell} + \frac{\partial g_{m\ell}}{\partial x^k} - \frac{\partial g_{k\ell}}{\partial x^m} \right) = {1 \over 2} g^{im} (g_{mk,\ell} + g_{m\ell,k} - g_{k\ell,m})

이고[5], 여기서 (g^{jk})(g_{jk})\,역행렬이고, 크로네커 델타아인슈타인 표기법을 사용하면 g^{j i} g_{i k}= \delta^j{}_k\ 인 것이다.

크리스토펠 기호는 텐서와 같은 방식으로 표기되지만, 텐서는 아니다.[8] 좌표변환에 대해서 텐서처럼 행동하지 않는다.

역사[편집]

독일의 엘빈 브루노 크리스토펠이 1869년에 도입하였다.[9][10]

참고 문헌[편집]

  1. Ludvigsen, Malcolm (1999), 《General Relativity: A Geometrical Approach》, 88쪽 
  2. Christoffel, E.B. (1869), “Ueber die Transformation der homogenen Differentialausdrucke zweiten Grades”, 《Jour. fur die reine und angewandte Mathematik》, B. 70: 46?70 
  3. Chatterjee, U.; Chatterjee, N. (2010). 《Vector and Tensor Analysis》. 480쪽. 
  4. Struik, D.J. (1961). 《Lectures on Classical Differential Geometry》 fir publish in 1988 Dover판. 114쪽. 
  5. Bishop, R.L.; Goldberg (1968), 《Tensor Analysis on Manifolds》, 241쪽 
  6. Chatterjee, U.; Chatterjee, N. (2010). 《Vector & Tensor Analysis》. 480쪽. 
  7. http://mathworld.wolfram.com/ChristoffelSymboloftheSecondKind.html.
  8. (Kreyszig 1991), page 141
  9. Christoffel, Elwin Bruno (1869). “Ueber die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades”. 《Journal für die reine und angewandte Mathematik B》 (독일어) 70: 46-70. doi:10.1515/crll.1869.70.46. 
  10. O’Connor, John J.; Edmund F. Robertson (1997년 4월). “Elwin Bruno Christoffel”. 《MacTutor History of Mathematics Archive》 (영어). 세인트앤드루스 대학교. 

바깥 고리[편집]