비틀림 텐서

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미분기하학에서, 비틀림 텐서(영어: torsion tensor)는 주다발코쥘 접속레비치비타 접속에서 얼마나 벗어나는지를 측정하는, (1,2)차 텐서장이다.

정의[편집]

다음이 주어졌다고 하자.

그렇다면, 비틀림 텐서는 다음과 같은 (1,2)-텐서장 (값 이차 형식)

이다.

여기서

  • 리 미분이다.

성분으로 적으면 다음과 같다. 우선, 코쥘 접속의 성분이

라고 하자. 또한, 국소적으로 (홀로노믹) 좌표를 잡자. 그렇다면,

이다.

보다 일반적으로, 임의의 필바인

을 잡자. 그렇다면, 다음을 정의할 수 있다.

여기서 스핀 접속이다.

그렇다면, 이 기저에서 비틀림 텐서는 다음과 같다.

성질[편집]

비틀림 텐서는 (1,2)차 텐서장이며, 그 두 개의 아래 지표는 서로 반대칭이다. 즉, 의 2차 미분 형식을 이룬다.

즉, 차원의 다양체에서 그 성분은 총 개이다. 특히, 1차원 이하의 경우 비틀림 텐서는 항상 0이다. (2차원 이상의 경우 비틀림이 ≠0일 수 있다.)

비안키 항등식[편집]

아핀 다양체 리만 곡률

을 생각하자. 그렇다면, 다음과 같은 두 비안키 항등식(Bianchi恒等式, 영어: Bianchi identity)이 성립한다.

여기서

를 순환에 따라 치환한 합을 뜻한다.

[편집]

준 리만 다양체 레비치비타 접속의 비틀림은 0이다.

외부 링크[편집]