코쥘 접속

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위의 아핀 접속은 접평면을 한 점의 표면에서 다른 점의 표면으로 밀어 옮기는 과정으로 이해할 수 있다.

미분기하학에서, 코쥘 접속(Koszul接續, 영어: Koszul connection)은 벡터 다발의 각 올들을 이어붙여, 벡터장의 미분을 정의할 수 있게 하는 구조이다.

정의[편집]

매끄러운 다양체 M 위의 매끄러운 실수 벡터 다발 E\twoheadrightarrow M이 주어졌다고 하자. E매끄러운 단면들의 실수 벡터 공간\Gamma(E)라고 하자.

E 위의 (코쥘) 접속 또는 공변 미분(共變微分, 영어: covariant derivative)은 다음 조건을 만족시키는 선형 변환

\nabla\colon\Gamma(E)\to\Gamma(T^*M\otimes_{\mathbb R}E)

이다.

여기서 T^*MM공변접다발이며, df\in\Gamma(T^*M)=\Omega^1(M)f외미분으로 얻은 1차 미분 형식이다. 이는 일반적 올다발 위의 에레스만 접속의 개념의 특수한 예이며, 접속이 벡터 다발의 선형 구조와 호환되는 경우이다.

M 위의 아핀 접속(affine接續, 영어: affine connection)은 그 접다발 TM 위의 코쥘 접속이다. 아핀 접속을 갖춘 매끄러운 다양체아핀 다양체(affine多樣體, 영어: affine manifold)라고 한다.

임의의 벡터장 X\in\Gamma(TM)에 대하여,

\nabla_X\colon\Gamma(E)\to\Gamma(E)
\nabla_X\colon s\mapsto \langle X,\nabla s\rangle

를 정의할 수 있다. 이를 E의 단면의 X방향의 공변 미분이라고 한다.

곡률[편집]

벡터 다발 E\twoheadrightarrow M 위의 코쥘 접속 \nabla곡률(曲率, 영어: curvature) F^\nabla\in\Omega^2(M;\operatorname{End}E)는 다음과 같이 정의되는, \operatorname{End}E\cong E\otimes E^*값의 2차 미분 형식이다.

F^\nabla(X,Y)\colon s\mapsto\nabla_X\nabla_Ys-\nabla_Y\nabla_Xs-\nabla_{[X,Y]}s\qquad\forall X,Y\in\Gamma(TM),\;s\in\Gamma(E)

여기서 [X,Y]는 벡터장의 리 미분이다. 이는 일반적 올다발 위의 에레스만 접속의 곡률의 특수한 경우이다.

곡률이 0인 코쥘 접속을 평탄 코쥘 접속(영어: flat Koszul connection)이라고 한다.

아핀 접속의 곡률은 리만 곡률이라고 하며, 이는 (3,1)-텐서장으로 여길 수 있다. 또한, 아핀 접속 \nabla의 경우, 곡률과 더불어 비틀림(영어: torsion)을 정의할 수 있다. 비틀림 T^\nabla\in\Omega^2(M;TM)은 다음과 같다.

T^\nabla(X,Y)=\nabla_XY-\nabla_YX-[X,Y]

비틀림은 (2,1)-텐서장으로 여길 수 있다.

평행 운송[편집]

코쥘 접속은 에레스만 접속의 특수한 경우이므로, 평행 운송(영어: parallel transport)을 정의할 수 있다. 구체적으로, 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

만약

\nabla_{\dot\gamma(t)}\sigma=0\qquad\forall t\in[0,1]

이 성립한다면, E평행 단면이라고 한다. 이는 단면의 당김 \gamma^*s\in\Gamma(\gamma^*E)의, 당겨진 접속 \gamma^*\nabla에 대한 공변 미분이 0이라는 것과 동치이다.

이 경우, s(\gamma(1))\in E_{\gamma(1)}s(\gamma(0))\in E_{\gamma(0)}의, 곡선 \gamma를 따른 평행 운송이라고 한다. 평행 운송은 선형 변환

\tau_\gamma\colon E_{\gamma(0)}\to E_{\gamma(1)}

으로 생각할 수 있으며, 이는 벡터 공간의 동형을 이룬다. 이와 같이, 코쥘 접속은 E의 각 올공간들을 (주어진 경로에 따라) "이어붙이는" 것을 알 수 있다.

성질[편집]

국소성[편집]

공변 미분 \nabla s의, x\in M에서의 값은 sx 근방의 값에만 의존한다.

벡터 다발 E\twoheadrightarrow M 위의 두 코쥘 접속 \nabla^1, \nabla^2이 주어졌다고 하자. 그렇다면,

\nabla^1-\nabla^2\colon\Gamma(E)\to\Gamma(T^*M\otimes E)

는 매끄러운 다발 사상을 이룬다. 즉, (\nabla^1-\nabla^2)(s)x\in M에서의 값은 s(x)\in E_xM에만 의존한다.

당김[편집]

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

그렇다면, f를 통해 M위의 당김 다발 f^*E를 정의할 수 있다. 이 위에 당김 접속

f^*\nabla\colon\Gamma(f^*E)\to\Gamma(T^*M\otimes f^*E)

은 다음 조건을 만족시키는 유일한 코쥘 접속이다.

f^*\nabla_X\colon f^*s\mapsto f^*(\nabla_{f_*X}s)\qquad\forall s\in\Gamma(E),\;X\in\Gamma(TM)

여기서 f_*X=df(X)\in\Gamma(TN)X\in\Gamma(TM)N으로의 밂(영어: pushforward)이다.

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자명한 벡터 다발 위의 접속[편집]

매끄러운 다양체 M 위에 자명한 벡터 다발 E=M\times\mathbb R^k\twoheadrightarrow M이 주어졌다고 하자. \mathbb R^k기저\{e_1,\dots,e_k\}라고 하자. 그렇다면, E의 단면은 매끄러운 함수로 생각할 수 있다.

\Gamma(E)\cong\mathcal C^\infty(M,\mathbb R^n)

이 경우, E 위의 모든 코쥘 접속은 다음과 같은 꼴이다.

\nabla\colon s\mapsto ds+\omega(s)

여기서

\omega\in\Omega^1(M)\otimes_{\mathbb R}\operatorname{End}(\mathbb R^n)

1차 미분 형식n\times n 정사각 행렬이며,

ds=\sum_ie_id\langle e_i,s_i\rangle\in\Gamma(T^*M\otimes E)

s\colon M\to\mathbb R^n의 각 벡터 성분에 대한 외미분이다. 이 경우,

(\omega)^i{}_j=\langle e_j,\nabla e_j\rangle

\nabla접속 형식(接續形式, 영어: connection form)이라고 한다. 만약 접속 형식이 0이라면, 코쥘 접속은 평탄 코쥘 접속을 이룬다.

보다 일반적으로, 임의의 벡터 다발의 경우 국소적 자명화를 (비표준적으로) 잡을 수 있으며, 위와 같이 접속 형식을 정의할 수 있다. 물론 이는 선택한 국소적 자명화에 의존하며, 또 일반적으로 대역적으로 정의될 수 없다.

레비치비타 접속[편집]

일반화 리만 다양체 (M,g) 위에는 리만 계량으로부터 레비치비타 접속이라는 아핀 접속을 표준적으로 정의할 수 있다.

역사[편집]

아핀 접속의 개념은 19세기의 기하학 및 텐서 미적분학 등에서 유래하였다. 1920년대 초에 엘리 카르탕카르탕 접속 이론의 일부로서 아핀 접속의 개념을 체계적으로 개발하였고, 이와 동시에 헤르만 바일일반 상대성 이론의 수학적 기초를 위하여 접속 이론을 개발하였다. "접속"이라는 용어 역시 카르탕이 도입하였다.

1950년에 장루이 코쥘접다발 위의 아핀 접속의 개념을 일반화하여, 임의의 벡터 다발 위의 코쥘 접속의 현대적인 정의를 제시하였다.[1]

참고 문헌[편집]

  1. Koszul, J. L. (1950). “Homologie et cohomologie des algebres de Lie”. 《Bulletin de la Société Mathématique》 (프랑스어) 78: 65–127. Zbl 0039.02901. 

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]