미분기하학 에서 벡터 값 미분 형식 (vector값微分形式, 영어 : vector-valued differential form )의 개념은 미분 형식 의 개념의 일종의 일반화이다. 벡터 값 미분 형식은 미분 형식 다발과 임의의 벡터 다발 과의 텐서곱 다발의 단면 이며, 일종의 "뒤틀린 미분 형식"으로 여겨질 수 있다. 그 위에는 당김 과 쐐기곱 이 정의되지만, 일반적으로 외미분 은 정의되지 않는다.
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
매끄러운 다양체
M
{\displaystyle M}
M
{\displaystyle M}
위의 매끄러운 벡터 다발
π
:
E
↠
M
{\displaystyle \pi \colon E\twoheadrightarrow M}
그렇다면,
M
{\displaystyle M}
위의
E
{\displaystyle E}
값 미분 형식 들의 벡터 다발 은 다음과 같다.
E
⊗
⨁
p
=
0
dim
M
⋀
p
T
∗
M
{\displaystyle E\otimes \bigoplus _{p=0}^{\dim M}\bigwedge ^{p}\mathrm {T} ^{*}M}
즉,
E
{\displaystyle E}
값의
p
{\displaystyle p}
차 미분 형식 은 다음 단면 공간의 원소이다.
Ω
p
(
M
;
E
)
=
Γ
(
E
⊗
⋀
p
T
∗
M
)
=
Ω
p
(
M
)
⊗
Ω
0
(
M
)
Γ
(
E
)
{\displaystyle \Omega ^{p}(M;E)=\Gamma \left(E\otimes \bigwedge ^{p}\mathrm {T} ^{*}M\right)=\Omega ^{p}(M)\otimes _{\Omega ^{0}(M)}\Gamma (E)}
특히,
Ω
0
(
M
;
E
)
=
Γ
(
E
)
{\displaystyle \Omega ^{0}(M;E)=\Gamma (E)}
이며, 또한 자명한 벡터 다발
E
=
M
×
R
{\displaystyle E=M\times \mathbb {R} }
에 대하여
Ω
p
(
M
;
E
)
=
Ω
p
(
M
)
{\displaystyle \Omega ^{p}(M;E)=\Omega ^{p}(M)}
이다.
만약
E
=
M
×
V
{\displaystyle E=M\times V}
가 자명한 벡터 다발일 경우, 보통
Ω
p
(
M
;
E
)
{\displaystyle \Omega ^{p}(M;E)}
를
Ω
p
(
M
;
V
)
{\displaystyle \Omega ^{p}(M;V)}
로도 표기한다.
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
매끄러운 다양체
M
{\displaystyle M}
과
N
{\displaystyle N}
매끄러운 함수
f
:
N
→
M
{\displaystyle f\colon N\to M}
M
{\displaystyle M}
위의 매끄러운 벡터 다발
E
{\displaystyle E}
M
{\displaystyle M}
위의,
E
{\displaystyle E}
값의
p
{\displaystyle p}
차 미분 형식
ω
∈
Ω
p
(
M
;
E
)
{\displaystyle \omega \in \Omega ^{p}(M;E)}
그렇다면,
ω
{\displaystyle \omega }
의,
f
{\displaystyle f}
에 대한 당김
f
∗
ω
∈
Ω
p
(
N
;
f
∗
E
)
{\displaystyle f^{*}\omega \in \Omega ^{p}(N;f^{*}E)}
를 자연스럽게 정의할 수 있다.
쐐기곱 [ 편집 ]
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
매끄러운 다양체
M
{\displaystyle M}
M
{\displaystyle M}
위의 두 매끄러운 벡터 다발
E
{\displaystyle E}
,
F
{\displaystyle F}
M
{\displaystyle M}
위의,
E
{\displaystyle E}
값의
p
{\displaystyle p}
차 미분 형식
α
∈
Ω
p
(
M
;
E
)
{\displaystyle \alpha \in \Omega ^{p}(M;E)}
M
{\displaystyle M}
위의,
F
{\displaystyle F}
값의
q
{\displaystyle q}
차 미분 형식
β
∈
Ω
p
(
M
;
E
)
{\displaystyle \beta \in \Omega ^{p}(M;E)}
그렇다면,
α
{\displaystyle \alpha }
와
β
{\displaystyle \beta }
의 쐐기곱
α
∧
β
∈
Ω
p
+
q
(
M
;
E
⊗
F
)
{\displaystyle \alpha \wedge \beta \in \Omega ^{p+q}(M;E\otimes F)}
을 정의할 수 있다.
리 대수 쐐기곱 [ 편집 ]
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
매끄러운 다양체
M
{\displaystyle M}
M
{\displaystyle M}
위의 매끄러운 벡터 다발
E
{\displaystyle E}
. 또한,
E
{\displaystyle E}
의 각 올들이 단순히 실수 벡터 공간 이 아니라, 실수 리 대수
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
의 구조를 갖춘다고 하자.
E
{\displaystyle E}
값의
p
{\displaystyle p}
차 미분 형식
α
∈
Ω
p
(
M
;
E
)
{\displaystyle \alpha \in \Omega ^{p}(M;E)}
E
{\displaystyle E}
값의
q
{\displaystyle q}
차 미분 형식
β
∈
Ω
q
(
M
;
E
)
{\displaystyle \beta \in \Omega ^{q}(M;E)}
그렇다면, 이 경우 위의 쐐기곱과, 리 괄호 를 동시에 적용한 연산
[
α
∧
β
]
∈
Ω
p
+
q
(
M
;
E
)
{\displaystyle [\alpha \wedge \beta ]\in \Omega ^{p+q}(M;E)}
를 정의할 수 있다. 이 경우,
[
α
∧
β
]
=
(
−
1
)
p
q
+
1
[
β
∧
α
]
{\displaystyle [\alpha \wedge \beta ]=(-1)^{pq+1}[\beta \wedge \alpha ]}
가 성립한다.
외미분 [ 편집 ]
일반적으로, 벡터 값 미분 형식의 경우 (벡터 다발이 자명하지 않다면) 외미분 을 정의할 수 없다. 물론, 자명한 벡터 다발의 경우 자명하게 외미분이 정의된다.
보다 일반적으로, 벡터 다발 에 평탄한 (즉, 곡률이 0인) 코쥘 접속 이 주어진다면 그 위에 일종의 외미분을 정의할 수 있다.
외부 링크 [ 편집 ]