D가군

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

수학에서, D가군(영어: D-module)은 미분 연산자들의 환에 대한 가군층이다. 선형 편미분 방정식의 추상화이며, 또한 평탄한 코쥘 접속을 갖춘 벡터 다발의 일반화이다.

정의[편집]

표수 0 에 대한 비특이 대수다양체라고 하고, 위의 정칙함수들의 라고 하자. 또한, 위의 (대수적) 벡터장들로 생성되는 -가군층 를 생각하자. 이는 미분 연산자들로 간주할 수 있다.

위의 D가군 은 다음과 같은 데이터로 이루어져 있다.

  • -가군층
  • -선형사상 ,

이는 다음과 같은 공리를 만족시켜야 한다. 모든 의 단면 , 의 단면 , 위의 벡터장 에 대하여,

  • (-선형성)
  • (곱규칙)
  • (리 괄호에 대한 준동형)

[편집]

국소 자유 가군층벡터 다발로 여길 수 있으며, 국소 자유 가군층인 D가군은 단순히 평탄한 코쥘 접속이 주어진 벡터 다발이다.

자체는 자명하게 D가군을 이룬다.

복소 아핀 공간 위의 함수 공간 가 다음 성질들을 만족시킨다면, 는 D가군을 이룬다.

  • 는 덧셈 및 곱셈에 대하여 닫혀 있다.
  • . 즉, 는 모든 다항함수를 포함한다.
  • 는 미분에 대하여 닫혀 있다.

선형 편미분 방정식에 대응하는 D가군[편집]

위의 선형 미분 연산자

로 정의되는 선형 편미분 방정식

을 생각해 보자. 그렇다면, 이 편미분 방정식에 대응되는 D가군은 로 생성되는 아이디얼 에 대한 몫환

이다. 이 경우, D가군을 이루는 어떤 함수 공간 속에서,

의 해들의 공간은

과 같다.

바깥 고리[편집]