평행 운송

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평행 운송을 통해, 서로 다른 점에서의 올 사이의 동형을 정의할 수 있다.

미분기하학에서, 평행 운송(平行運送, 영어: parallel transport)은 올다발 속의 에레스만 접속을 사용하여 정의되는, 곡선의 양 끝점의 올 사이의 함수이다.

정의[편집]

다음이 주어졌다고 하자.

  • 매끄러운 다양체
  • 실수 폐구간
  • 조각마다 매끄러운 연속 곡선
  • 매끄러운 올다발
  • 에레스만 접속 (수평 다발)

그렇다면, 로의 올림(영어: lift)은 다음 그림이 가환하게 되는 곡선

이다.

위에 에레스만 접속 가 주어졌다고 하자. 만약 가 다음 조건을 만족시킨다면, 에 대하여 수평 올림(水平-, 영어: horizontal lift)이라고 한다.

즉, 올림의 접벡터가 항상 수평이어야 한다 (수평 다발 에 속해야 한다).

주어진 에레스만 접속 및 초기 조건 에 대하여, 모든 곡선은 근방에서 유일한 수평 올림을 갖는다. (그러나 일반적으로 곡선의 대역적 수평 올림은 존재하지 않을 수 있다.) 즉, 이는 함수

를 정의한다. 이를 의, 를 따른 평행 운송(平行運送, 영어: parallel transport)이라고 한다.

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벡터 다발[편집]

매끄러운 벡터 다발이며, 에레스만 접속이 코쥘 접속 로 주어진다고 하자. 이 경우, 평행 운송

는 두 실수 벡터 공간 사이의 실수 선형 변환을 이룬다.

특히, 만약 폐곡선이라면, 이는 일반 선형군의 원소를 이룬다.

이러한 폐곡선 평행 운송들이 구성하는 군을 홀로노미라고 한다.

주다발[편집]

리 군 에 대하여 -매끄러운 주다발이며, 에레스만 접속이 주접속이라고 하자. 이 경우, 마찬가지로 평행 운송

을 정의할 수 있다. 만약 폐곡선이라면,

는 어떤 군 원소 오른쪽 군 작용에 의하여 주어진다.

즉, 이 경우 평행 운송은 의 원소로 주어진다.

외부 링크[편집]