세타 지표

대수기하학에서 세타 지표(θ指標, 영어: theta characteristic)는 대수 곡선의 표준 선다발의 제곱근이다. 리만 곡면의 경우, 이는 스핀 구조에 해당한다.^[1]

정의[편집]

대수 곡선 $C$ 위에는 항상 표준 선다발 ${\mathcal {L}}_{K}$ 가 존재한다. 대수 곡선 $C$ 의 세타 지표 ${\mathcal {L}}_{\Theta }$ 는 다음을 만족시키는 정칙 선다발이다.

{\mathcal {L}}_{\Theta }\otimes {\mathcal {L}}_{\Theta }={\mathcal {L}}_{K}

즉, 인자로 쓰면 다음과 같다.

2\Theta =K

세타 지표들의 공간은 $\operatorname {Th} (C)$ 라고 쓴다.

아벨 군으로 간주한 야코비 다양체 $J(C)$ 의 2차 꼬임 부분군

J_{2}(C)=\{L\in J(C)\colon L\otimes L={\mathcal {O}}_{C}\}

을 생각하자. 이는 유한체 $\mathbb {F} _{2}$ 에 대한 벡터 공간을 이룬다. 임의의 원소 $L\in J_{2}(C)$ 및 세타 지표 ${\mathcal {L}}_{\Theta }\in \operatorname {Th} (C)$ 에 대하여, $L\otimes {\mathcal {L}}_{\Theta }$ 역시 세타 지표를 이룬다. 따라서, 세타 지표의 공간 $\operatorname {Th} (C)$ 는 $J_{2}(C)$ 에 대한 아핀 공간을 이룬다.

성질[편집]

표준 선다발의 차수는 $\deg K=2g-2$ 이므로, 세타 지표의 차수는 $\deg \Theta =g-1$ 이다.

종수가 $g$ 이며, 대수적으로 닫힌 체에 대한 대수 곡선의 경우, 총 $2^{2g}$ 개의 세타 지표가 존재한다.

각주[편집]

↑ Atiyah, Michael Francis (1971). “Riemann surfaces and spin structures”. 《Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. Quatrième Série》 4: 47–62. ISSN 0012-9593. MR 0286136.

Dolgachev, Igor V. (2012년 10월). 《Classical algebraic geometry: a modern view》 (PDF) (영어). Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139084437. ISBN 9781107017658. Zbl 1252.14001. 2014년 5월 31일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2014년 5월 30일에 확인함.
Farkas, Gavril (2012). “Theta characteristics and their moduli”. 《Milan Journal of Mathematics》 (영어) 80: 1–24. arXiv:1201.2557. Bibcode:2012arXiv1201.2557F. Zbl 1261.14016.
Mumford, David (1971). “Theta characteristics of an algebraic curve”. 《Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure (sér. 4)》 (영어) 4 (2): 181–192. MR 0292836.

같이 보기[편집]

[1] Atiyah, Michael Francis (1971). “Riemann surfaces and spin structures”. 《Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. Quatrième Série》 4: 47–62. ISSN 0012-9593. MR 0286136.

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