야코비 다양체

대수기하학에서 야코비 다양체(Jacobi多樣體, 영어: Jacobian variety)는 대수 곡선 위에 존재하는 0차 선다발들의 모듈라이 공간이다. 피카르 군에서 단위원을 포함한 연결 성분이며, 이에 따라 주극성화 아벨 다양체를 이룬다.

카를 구스타프 야코프 야코비의 이름을 땄다.

정의

복소수체에 대한 완비 비특이 대수 곡선 (리만 곡면)의 경우, 야코비 다양체는 다음과 같이 작도할 수 있다. 이 작도는 닐스 헨리크 아벨이 정의하였고, 카를 구스타프 야코프 야코비가 이 작도가 0차 선다발의 모듈라이 공간과 동형임을 보였다. 이를 아벨-야코비 정리(영어: Abel–Jacobi theorem)라고 한다.

곡면 종수가 $g\in \mathbb {N}$인 복소수 대수 곡선 $\Sigma _{g}$를 생각하자. 그 호지 수들은

	1
$g$		$g$
	1

이다. 즉, 위상수학적으로

$\Lambda =\operatorname {H} _{1}(\Sigma _{g};\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} ^{2g}$

이다. (리만 곡면의 경우, 호몰로지에 꼬임 부분군이 없다.) 또한,

$V=(\operatorname {H} ^{1,0}(\Sigma _{g}))^{*}=(\operatorname {H} ^{0}(\Sigma _{g},{\mathcal {K}}_{\Sigma _{g}}))^{*}\cong \mathbb {C} ^{g}$

를 정의할 수 있다. 여기서

• $\operatorname {H} ^{1,0}(\Sigma _{g})=\operatorname {H} ^{0}(\Sigma _{g},{\mathcal {K}}_{\Sigma _{g}})$는 (1,0)차 복소수 미분 형식들의 복소수 벡터 공간이며, ((1,−1)차 복소수 미분 형식이 존재하지 않으므로) (1,0)차 돌보 코호몰로지와 같다. (${\mathcal {K}}_{\Sigma _{g}}$는 대수 곡선의 표준 선다발이며, 기하학적으로 그 단면은 (1,0)차 복소수 미분 형식이다.)
• $(-)^{*}$는 유한 차원 복소수 벡터 공간의 쌍대 공간이다.

정수 계수 코호몰로지가 꼬임 부분군을 갖지 않으므로, 자연스럽게 $\Lambda \subseteq V$이다. 이는 (1,0)차 복소수 미분 형식을 실수 1차원 부분 다양체에 대하여 적분하는 것에 해당한다.

이 경우, 야코비 다양체 $\operatorname {Jac} (\Sigma _{g})$는 $g$차원 복소수 아벨 다양체

$\operatorname {Jac} (\Sigma _{g})=V/\Lambda \cong \mathbb {T} ^{2g}$

이다.

주극성화

야코비 다양체는 자연스럽게 주극성화 아벨 다양체의 구조를 갖는다.

구체적으로, 복소수 벡터 공간 $V^{*}$에는 교차 형식(intersection form)에 의하여 다음과 같은 반쌍선형 심플렉틱 형식이 존재한다.

$\omega ^{-1}\colon {\bar {V}}^{*}\times V^{*}\to \mathbb {C}$

$\omega ^{-1}\colon ({\bar {a}},b)=\int _{\Sigma _{g}}{\bar {a}}\wedge b\qquad (a,b\in V^{*}=\Omega ^{1,0}(\Sigma _{g}))$

이 형식이 비퇴화이므로, 그 역 $\omega \colon {\bar {V}}\times V\to \mathbb {C}$는 $V$ 위의 반쌍선형형 심플렉틱 형식이다. 또한, $\omega (\Lambda ,\Lambda )=\mathbb {Z}$임을 알 수 있다. 구체적으로, $\Lambda$의 적절한 기저 $\{\alpha _{i},\beta _{i}\}_{i=1,\dots ,g}$에서

$\omega (\alpha _{i},\beta _{i})=-\omega (\beta _{i},\alpha _{i})=\delta _{ij}$

$\omega (\alpha _{i},\beta _{i})=\omega (\beta _{i},\beta _{j})=\delta _{ij}$

로 놓을 수 있다. 즉, $\omega (\mathrm {i} a,b)$는 $V$ 위의 켈러 형식이며, 동형

${\bar {V}}\cong V^{*}$

${\bar {\alpha }}\mapsto \omega (\alpha ,-)$

을 정의한다. 따라서, $\operatorname {Jac} (\Sigma _{g})$는 $\omega$에 의하여 주극성화 아벨 다양체를 이룬다.

성질

야코비 다양체는 차수 0의 정칙 선다발들의 모듈라이 공간이다. 여기서 차수란 기하학적으로 천 특성류의 적분이며, 차수가 0인 것은 그 천 접속의 곡률이 0임을 뜻한다. 이러한 선다발들은 텐서곱에 따라서 아벨 군을 이루는데, 야코비 다양체의 (아벨 다양체로서의) 군 구조는 이와 일치한다.

모든 차수의 정칙 선다발들의 모듈라이 공간은 피카르 다양체라고 하며, 야코비 다양체는 그 속의, 항등원을 포함하는 연결 성분이다.

아벨-야코비 사상

리만 곡면 $\Sigma$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $\Sigma$의 0차 인자의 공간 $\operatorname {Div} _{0}(\Sigma )$에서 야코비 다양체로 가는 다음과 같은 사상이 존재한다.

$\operatorname {AJ} _{\Sigma }\colon \operatorname {Div} _{0}(\Sigma )\to \operatorname {Jac} (\Sigma )$

$\operatorname {AJ} _{\Sigma }\colon \sum _{i=1}^{k}(p_{i}-q_{i})\mapsto \left[\omega \mapsto \sum _{i=1}^{k}\int _{q_{i}}^{p_{i}}\omega _{1}\right]\qquad p_{1},\dotsc ,p_{k},q_{1},\dotsc ,q_{k}\in \Sigma ,\;\omega \in \Omega ^{1,0}(\Sigma )=V^{*}$

여기서 $\textstyle \int _{q_{i}}^{p_{i}}\omega$는 $q_{i}$와 $p_{i}$를 끝점으로 갖는 $\Sigma$ 속의 임의의 곡선

$\gamma \colon [0,1]\to \Sigma$

$\gamma (0)=q_{i}$

$\gamma (1)=p_{i}$

에 대한 1차 미분 형식 $\omega$의 적분이다. 이는 물론 사용한 곡선 $\gamma$의 호모토피류에 의존하지만, 서로 다른 곡선을 사용하였을 때의 차는 $\Lambda$에 속한다. 즉, 이는 야코비 다양체 속의의 점을 잘 정의한다.

이 사상은 전사 함수이자 두 아벨 군 사이의 군 준동형이며, 그 핵은 주인자의 부분군 $\operatorname {PDiv} (\Sigma )\leq \operatorname {Div} _{0}(\Sigma )$이다. 즉, 다음과 같은, 아벨 군의 짧은 완전열이 존재한다.

$0\to \operatorname {PDiv} (\Sigma )\to \operatorname {Div} _{0}(\Sigma )\to \operatorname {Jac} (\Sigma )\to 0$

0차 정칙 선다발은 인자류 $[\textstyle \sum _{i}p_{i}-q_{i}]\operatorname {Div} _{0}(\Sigma )/\operatorname {PDiv} (\Sigma )$에 의하여 분류되므로, 이는 0차 선다발의 모듈라이 공간과 야코비 다양체 사이의 동형을 정의한다.

특히, $g\geq 1$인 경우를 생각하자. 이 경우, 임의의 $q\in \Sigma$에 대하여,

$\overbrace {\Sigma \times \dotsb \times \Sigma } ^{g}\to \operatorname {Jac} (\Sigma )$

$(p_{1},\dotsc ,p_{g})\mapsto \operatorname {AJ} _{\Sigma }\left(\sum _{i=1}^{g}(p_{g}-q)\right)$

를 생각하자. 이는 대칭군 $\operatorname {Sym} (g)$의 작용에 대하여 불변이므로, 이는 짜임새 공간 $\operatorname {Conf} (\Sigma ,g)=\Sigma ^{g}/\operatorname {Sym} (g)$ 위에 정의된다. 이 사상

$\operatorname {Conf} (\Sigma ,g)\to \operatorname {Jac} (\Sigma )$

은 항상 전사 함수이며, 거의 어디서나 단사 함수이다. 즉, 이 사상이 단사 함수가 아닌 점들은 양의 여차원의 부분 다양체를 이룬다.

예

종수 1의 리만 곡면 $\Sigma$의 야코비 다양체는 원래 리만 곡면과 동형이며, 그 동형 사상은 아벨-야코비 사상 $\Sigma =\operatorname {Conf} (\Sigma ,1)\to \operatorname {Jac} (\Sigma )$에 의하여 주어진다.

종수 0의 리만 곡면(즉, 리만 구)의 야코비 다양헤는 0차원 아벨 다양체이므로 한원소 공간이다. 다시 말해, 리만 구 위에서, 모든 0차 인자는 주인자이며, 유일한 0차 정칙 선다발은 자명하다. (천 접속의 곡률이 0이므로, 이러한 정칙 선다발은 모노드로미로 정의되는데, 리만 구는 단일 연결 공간이므로 모노드로미가 존재하지 않는다.)

참고 문헌

• J.S. Milne (1986). 〈Jacobian Varieties〉 (PDF). 《Arithmetic Geometry》. New York: Springer. 167–212쪽. ISBN 0-387-96311-1. 

외부 링크

• Shokurov, V.V. (2001). “Jacobi variety”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Jacobian variety”. 《nLab》 (영어). 
• Woolf, Matthew (2008). “An exploration of complex Jacobian varieties” (PDF) (영어). 
• Mathew, Akhil (2009년 2월 3일). “Elliptic curves and Jacobians”. 《Rigorous Trivialities》 (영어). 

같이 보기

• 피카르 군
• 알바네세 다양체