특성류

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대수적 위상수학에서, 특성류(特性類, 영어: characteristic class)는 주다발의 위상수학적인 성질을 나타내는 코호몰로지 류이다.

정의[편집]

위상군이라고 하자. 위상 공간범주, 집합의 범주를 라고 하자. 함자 를 위상 공간 를 그 위에 존재하는 -주다발들(의 동형류들)의 집합으로 대응시키는 함자로 정의하자. 이는 반변함자를 이룬다. 또한, 코호몰로지 또한 함자 로 생각할 수 있다. (코호몰로지는 환의 구조를 가지지만, 여기서는 그 구조를 잊는다.)

특성류 자연변환 이다. 즉, 각 주다발 에 코호몰로지류 를 대응시키고, 이는 연속함수 에 대해 를 만족시킨다.

분할 원리[편집]

특성류들은 분할 원리(영어: splitting principle)를 사용하여, 일종의 다항식으로 나타낼 수 있다. 공간 위에 차원 복소 벡터다발 가 주어지면, 여기에 임의의 코쥘 접속 를 주어 그 곡률

를 계산할 수 있다. 이는 리 대수 값을 갖는 2차 미분형식들이다. (짝수차 미분형식들은 가환환을 이루므로 행렬을 정의할 수 있다.) 에르미트 행렬들로 이루어져 있으므로, 이 행렬의 고윳값들을 정의하자.

여기서 는 접속에 따라 달라지는 유니터리 행렬이다. 그러나 고윳값 들의 코호몰로지 류들은 접속에 상관없이 불변임을 보일 수 있다 (천-베유 정리). 복소 벡터다발의 모든 특성류들은 이 들의 다항식으로 나타낼 수 있다 (분할 원리). 예를 들어, 천 지표

천 특성류

오일러 특성류

토드 특성류

이다.

실수 벡터 다발의 특성류의 경우, 일부는 그 복소화의 특성류로 정의할 수 있다. 예를 들어, 폰트랴긴 특성류나 디랙 종수(Dirac genus)는 이렇게 정의할 수 있다. 그렇지만 일반적으로 슈티펠-휘트니 특성류(Stiefel–Whitney class)는 그렇지 않다.

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참고 문헌[편집]