특성류

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

대수적 위상수학에서, 특성류(特性類, 영어: characteristic class)는 주다발의 위상수학적인 성질을 나타내는 코호몰로지 류이다.

정의[편집]

G위상군이라고 하자. 위상공간범주\mathbf{Top}, 집합의 범주를 \mathbf{Set}라고 하자. 함자 b_G\colon \mathbf{Top}\to \mathbf{Set}^\text{op}를 위상공간 X를 그 위에 존재하는 G-주다발들(의 동형류들)의 집합으로 대응시키는 함자로 정의하자. 이는 반변함자를 이룬다. 또한, 코호몰로지 H^\bullet 또한 함자 H^\bullet\colon \mathbf{Top}\to \mathbf{Set}^\text{op}로 생각할 수 있다. (코호몰로지는 환의 구조를 가지지만, 여기서는 그 구조를 잊는다.)

특성류 c자연변환 c\colon b_G\implies H^\bullet이다. 즉, 각 주다발 P에 코호몰로지류 c(P)를 대응시키고, 이는 연속함수 f\colon X\to Y에 대해 c(f^*P) = f^*c(P)를 만족시킨다.

분할 원리[편집]

특성류들은 분할 원리(영어: splitting principle)를 사용하여, 일종의 다항식으로 나타낼 수 있다. 공간 X 위에 n차원 복소 벡터다발 E가 주어지면, 여기에 임의의 접속(connection) A를 주어 그 곡률

F=dA+A\wedge A\in\Omega^2(X)\otimes_{\mathbb R}\mathfrak u(n)

를 계산할 수 있다. 이는 리 대수 \mathfrak u(n)값을 갖는 2차 미분형식들이다. (짝수차 미분형식들은 가환환을 이루므로 행렬을 정의할 수 있다.) \mathfrak u(n)n\times n에르미트 행렬들로 이루어져 있으므로, 이 행렬의 고윳값들을 정의하자.

iF=g\operatorname{diag}(x_1,x_2,\dots,x_n)g^{-1}

여기서 g는 접속에 따라 달라지는 유니터리 행렬이다. 그러나 고윳값 \{x_1,\dots,x_n\}\in\Omega^2(X)들의 코호몰로지 류들은 접속에 상관없이 불변임을 보일 수 있다 (천-베유 정리). 복소 벡터다발의 모든 특성류들은 이 \{x_1,\dots,x_n\}들의 다항식으로 나타낼 수 있다 (분할 원리). 예를 들어, 천 지표

\operatorname{ch}(E)=\sum_{i=1}^n\exp(x_i)

천 류

c(E)=\sum_{i=1}^nc_i(E)=\prod_{i=1}^n(1+x_i)

오일러 류

e(E)=\prod_{i=1}^nx_i

토드 류

\operatorname{Td}(E)=\prod_{i=1}^n\frac{x_i}{1-\exp(-x_i)}

이다.

실수 벡터 다발의 특성류의 경우, 일부는 그 복소화의 특성류로 정의할 수 있다. 예를 들어, 폰트랴긴 류나 디랙 종수(Dirac genus)는 이렇게 정의할 수 있다. 그렇지만 일반적으로 슈티펠-휘트니 류(Stiefel–Whitney class)는 그렇지 않다.

[편집]

참고 문헌[편집]