미분기하학에서 아티야-싱어 지표 정리(-指標定理, 영어: Atiyah–Singer index theorem)는 타원 복합체의 지표를 위상학적인 데이터로 계산할 수 있다는 정리다.[1][2][3]:§10–11[4][5][6][7]:§12.8, 477–480; §12.10, 487–500[8][9] 히르체브루흐-리만-로흐 정리와 가우스-보네 정리 등을 일반화한다.
이
차원 콤팩트 매끄러운 다양체이고,
가
위의 매끄러운 벡터 다발들이라고 하자.
위의 타원 복합체
![{\displaystyle \cdots {\stackrel {D_{i-2}}{\longrightarrow }}\Gamma (E_{i-1}){\stackrel {D_{i-1}}{\longrightarrow }}\Gamma (E_{i}){\stackrel {D_{i}}{\longrightarrow }}\Gamma (E_{i+1}){\stackrel {D_{i+1}}{\longrightarrow }}\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e41cde093fbb6d40f65e1141b95352e71cafdd2a)
의 해석적 지표(analytical index)는 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {ind} (D_{\bullet })=\sum _{i}(-1)^{i}\dim(\ker D_{i}/\operatorname {im} D_{i-1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e449ba7c2392e03825200829e21d36d9ce61536f)
이는 순수하게 해석적인 데이터로 정의된 값이다. 여기서
는 프레드홀름 지표이다.
타원 복합체의 위상 지표(영어: topological index)는 다음과 같다.[7]:Theorem 12.2
![{\displaystyle \operatorname {ind} (D_{\bullet })=(-)^{m(m+1)/2}\int _{M}\operatorname {ch} \left(\bigoplus _{i}(-1)^{i}E_{i}\right){\frac {\operatorname {Td} (\mathrm {T} M\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} )}{\mathrm {e} (\mathrm {T} M)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99344468c716a066dea647a9609809fc0e4d06d0)
여기서
는 매끄러운 벡터 다발의 천 지표이다.
는
의 접다발
의 복소화의 토드 특성류이다.
은 접다발
의 오일러 특성류이다.
이 지표는 순수하게 위상수학적인 데이터로 정의된 값이다.
아티야-싱어 지표 정리에 따르면, 타원 복합체의 해석적 지표와 위상 지표는 같다.
여기서,
이 홀수인 경우 (미분 연산자에 대하여) 양변 모두 0이다. (다만, 유사 미분 연산자에 대한 경우 홀수 차원에서도 자명하지 않은 결과를 도출할 수 있다.)
특히, 하나의 프레드홀름 미분 연산자
![{\displaystyle D\colon \Gamma (E)\to \Gamma (F)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39c4a1ac1e5674374482b5884a1c04a3e9e0891b)
에 대하여, 이를 타원 복합체
![{\displaystyle 0\to \Gamma (E)\,{\overset {D}{\to }}\,\Gamma (F)\to 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47b0944a0d580eca5f577423d00e1bc5fdba6f79)
로 간주하면, 다음을 얻는다.
![{\displaystyle \dim \ker D-\dim \ker D^{\dagger }=(-)^{m(m+1)/2}\int _{M}(\operatorname {ch} E-\operatorname {ch} F){\frac {\operatorname {Td} (\mathrm {T} M^{\mathbb {C} })}{\operatorname {e} (\mathrm {T} M)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35c9bbab609d1af76b329ee530a49448c888fdce)
수많은 유명한 정리들을 아티야-싱어 지표 정리의 특수한 경우로 얻을 수 있다.
오일러 지표[편집]
이 콤팩트 유향 다양체라고 하고, 지표 정리를 (복소화한) 드람 복합체
![{\displaystyle 0\to \Omega ^{0}(M)\otimes \mathbb {C} {\xrightarrow {d}}\Omega ^{1}(M)\otimes \mathbb {C} {\xrightarrow {d}}\Omega ^{2}(M)\otimes \mathbb {C} {\xrightarrow {d}}\dotsb }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/838b3c3ed7ff544dea81ca14249a86a56f6dd620)
에 적용시키자. 드람 복합체의 해석적 지표는 다양체의 오일러 지표
이다. 그 위상 지표는 오일러 특성류
의 적분이다. 즉, 이에 따라 천-가우스-보네 정리(영어: Chern–Gauss–Bonnet theorem)
![{\displaystyle \chi (M)=\int _{M}e(M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89aae6cb30631b2a9a7242b4282087713057a472)
를 얻는다.
계산:
미분 형식 벡터 다발의 천 지표는 분할 원리를 사용하여 계산하면 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {ch} \bigwedge ^{k}(\mathrm {T} ^{*}M\otimes \mathbb {C} )=\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\dotsb <i_{k}\leq m}\exp(-x_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c758335828ec5dcbaec66ae24acfd2d3903bdfb)
여기서
는
를 분할 원리로
개의 복소수 선다발들의 직합이라고 가정할 때
번째 복소수 선다발의 1차 천 특성류이다. 이는 실수 벡터 다발의 복소화이므로
![{\displaystyle x_{i+m/2}=-x_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e423f845e16d89c467c17ebf0ffd474a76a15060)
로 놓을 수 있다.
즉
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{m}(-)^{k}\operatorname {ch} \bigwedge ^{k}(\mathrm {T} ^{*}M\otimes \mathbb {C} )=\prod _{i=1}^{k}(1-\exp(-x_{i}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aa79bb12589cffb001406b0c76e3dc67ecad11c)
이다. 토드 특성류와 오일러 특성류는 각각
![{\displaystyle \operatorname {Td} =\prod _{i=1}^{m}{\frac {x_{i}}{1-\exp(-x_{i})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a81e7b698949c3ede78be599e3f426dbf21215e)
![{\displaystyle \operatorname {e} =\prod _{i=1}^{m/2}x_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9dac1e45117e2ed40a688e4f946d80d66ea8dd4)
이므로, 지표 밀도는
![{\displaystyle (-)^{m(m+1)/2}\left(\sum _{k=0}^{m}(-)^{k}\operatorname {ch} \bigwedge ^{k}(\mathrm {T} ^{*}M\otimes \mathbb {C} )\right){\frac {\operatorname {Td} }{\operatorname {e} }}=(-)^{m(m+1)/2}\prod _{i=m/2+1}^{m}x_{i}=(-)^{m(m+2)/2}\prod _{i=1}^{m/2}x_{i}=\operatorname {e} (\mathrm {T} M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc7a103877917f15e1995bda4c6d58add970718e)
이다.
히르체브루흐-리만-로흐 정리[편집]
아티야-싱어 지표 정리를 돌보 복합체에 적용시키면 히르체브루흐-리만-로흐 정리를 얻게 된다.
이 복소다양체라고 하고, 그 위에 해석적 벡터 다발
가 주어졌다고 하자. 지표 정리를 돌보 복합체
![{\displaystyle \Omega ^{p,0}(E){\xrightarrow {\bar {\partial }}}\Omega ^{p,1}(E){\xrightarrow {\bar {\partial }}}\dotsb }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c00fdc8fd65ea64223543cdc3eb2c11c81c9d120)
에 적용시키자. 돌보 복합체의 해석적 지표는
의 코호몰로지의 오일러 지표
![{\displaystyle \chi (M,E)=h^{0}(M,E)-h^{1}(M,E)+h^{2}(M,E)-\dotsb }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4677e55c958b40e227f330f2fc4ba26d6af8236)
이고, 그 위상 지표는
![{\displaystyle \int _{M}\operatorname {ch} (E)\operatorname {Td} (TM)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04a7fd078f05684c9b5b78620f49dabd3a14e1dd)
이다. 따라서 이는 히르체브루흐-리만-로흐 정리가 된다.
계산:
복소수 차원이
라고 하자.
분할 원리에 따라, 복소수 접다발이 복소수 선다발의 직합이라고 하자.
![{\displaystyle \mathrm {T} ^{+}M=L_{1}\oplus \dotsb \oplus L_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd8312e0ad293ddc002ebcae06a9ad6d8a05c218)
또한
![{\displaystyle \operatorname {c} _{1}(L_{i})=x_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/607da0e7c74d3c8261826a10b0ee3859bb786b58)
라고 하자. 그렇다면
![{\displaystyle \operatorname {ch} \left(\bigwedge ^{p}\mathrm {T} ^{-*}M\right)=\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\dotsb <i_{p}\leq n}\exp(x_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de2ae0a458f189767e416e52745aa5cbc4553348)
이며, 따라서
![{\displaystyle \sum _{p=0}^{n}(-)^{p}\operatorname {ch} \left(E\otimes \bigwedge ^{p}\mathrm {T} ^{-*}M\right)=\operatorname {ch} (E)\prod _{i=1}^{p}(1-\exp x_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e77d884c373b1a9be304afd67b6a2d3b6b706c18)
이다.
이제
![{\displaystyle \operatorname {Td} (\mathrm {T} M\otimes \mathbb {C} )=\operatorname {Td} (\mathrm {T} ^{+}M)\operatorname {Td} (\mathrm {T} ^{-}M)=\prod _{i=1}^{m}{\frac {x_{i}(-x_{i})}{(1-\exp(-x_{i}))(1-\exp x_{i})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c52580c8ca279733bd4efdb99bf683e0671b38a)
![{\displaystyle \operatorname {e} (\mathrm {T} M)=x_{1}x_{2}\dotsm x_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2ebd355d00a4bef55db013f16c807d9f7b98c4f)
이므로, 지표 밀도는
![{\displaystyle (-)^{n(2n+1)}\operatorname {ch} (E)\operatorname {Td} (\mathrm {T} ^{+}M)\prod _{i=1}^{n}{\frac {(-x_{i})(1-\exp x_{i})}{x_{i}(1-\exp x_{i})}}=\operatorname {ch} (E)\operatorname {Td} (\mathrm {T} ^{+}M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd6a42d375be3fc9465d2a1902492e7628226e4d)
이다.
가 0차원 벡터 다발인 경우, 그 오일러 지표는 복소다양체의 산술 종수
이다. 따라서, 복소다양체의 산술 종수는 복소 접다발의 토드 특성류의 적분에 의하여 주어진다.
![{\displaystyle \operatorname {ind} {\bar {\partial }}=\int _{M}\operatorname {Td} (TM)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ff54ea1bf53d2fb6cac1f496c6bffa59a0cdda4)
디랙 연산자[편집]
이 짝수 차원의 스핀 다양체라고 하고, 그 위에 스피너 다발
![{\displaystyle \mathrm {S} (M)=\mathrm {S} ^{+}(M)\oplus \mathrm {S} ^{-}(M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fea44bd044ba5062352c7f5790c68bc66fc65460)
을 생각하자. 그렇다면 디랙 연산자
![{\displaystyle i\gamma ^{\mu }\nabla _{\mu }={\begin{pmatrix}0&D\\D^{\dagger }&0\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/393bc2c6a556b926a4ee70792dd6e37203fe5c5c)
는 다음과 같이 작용한다.
![{\displaystyle S^{+}(M){\xrightarrow {D}}S^{-}(M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e02de6c14abd4dbae92fc17b6201121d41079b0)
![{\displaystyle S^{+}(M){\xleftarrow {D^{\dagger }}}S^{-}(M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/840849ee1c2de70ddb8e89d3a7609ff1d3f6dae9)
이에 따라, 디랙 연산자
의 지표는 아티야-싱어 지표 정리에 따라 다음과 같다.
![{\displaystyle \operatorname {ind} (D)=\ker D-\ker D^{\dagger }=\int _{M}{\hat {A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3ec36770446a6694ad702a1f2a7794171adf34a)
여기서
는 디랙 종수(영어: Dirac genus) 또는 Â 종수(영어: Â-genus 에이 햇 지너스[*])라고 불리는 특성류로,
![{\displaystyle {\hat {A}}=\prod _{i=1}^{\dim M}{\frac {x_{i}/2}{\sinh(x_{i}/2)}}=1-{\frac {1}{24}}p_{1}+{\frac {1}{5760}}(-4p_{2}+7p_{1}^{2})+\dotsb \in \operatorname {H} ^{2\bullet }(M;\mathbb {Q} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa67d17e2920041afa1d3230b4c609a1365fb9bd)
이다. 여기서
는 폰트랴긴 특성류이고,
는 2차 미분 형식들의 행렬인 곡률
의 고윳값들
![{\displaystyle -R/2\pi ={\begin{pmatrix}0&x_{1}\\-x_{1}&0\\&&0&x_{2}\\&&-x_{2}&0\\&&&&0&x_{3}\\&&&&-x_{3}&0\\&&&&&&\ddots \end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f494dd95c5d2746428e4093a66c4105abccd0011)
이다. 일반적으로, 디랙 종수는 스핀 다양체가 아닌 다른 다양체의 경우 정수가 아닐 수 있다.
마이클 아티야와 이자도어 싱어가 1963년에 발표하였다.[10][11][12][13][14] 부분적으로 이 공로로 마이클 아티야는 1966년 필즈상을 수상하였다.[15] 이 공로로 마이클 아티야와 이자도어 싱어는 2004년 아벨상을 수상하였다.[16][17][18]
1983년에 루이스 알바레스가우메(스페인어: Luis Álvarez-Gaumé)가 아티야-싱어 지표 정리가 초대칭 양자역학과 깊은 관계가 있다는 사실을 밝혔고, 이를 이용하여 아티야-싱어 정리를 새롭게 증명하였다.[19][20] 이 증명은 그 뒤 에즈라 게츨러(영어: Ezra Getzler)가 수학적으로 엄밀하게 제시하였다.[21] 즉, 디랙 연산자의 경우, 그 해석적 지표는 단순히 위튼 지표에 불과하여, 초대칭 양자역학을 사용해 계산할 수 있다.
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외부 링크[편집]