라이데마이스터 비틀림

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위상수학에서, 라이데마이스터 비틀림(Reidemeister뒤틀림, 영어: Reidemeister torsion) 또는 해석적 뒤틀림(解析的뒤틀림, 영어: analytic torsion)은 그 기본군표현이 주어진 위상 공간에 대하여 정의되는 불변량이다.[1] 특별한 경우, 이는 평탄 코쥘 접속을 갖는 매끄러운 벡터 다발 값을 갖는 미분 형식라플라스 연산자제타 함수 조절 행렬식으로 계산될 수 있다.

정의[편집]

해석적 정의[편집]

다음이 주어졌다고 하자.

그렇다면, 미분 형식의 공간 위의 라플라스 연산자

를 정의할 수 있다. 그 고윳값들을 라고 하자. (콤팩트성 가정에 의하여 연속 스펙트럼이 존재하지 않는다.)

그렇다면, 제타 함수는 충분히 큰 실수 성분을 갖는 에 대하여 다음과 같다.

이를 복소평면해석적 연장을 가할 수 있다.

그렇다면, 행렬식을 다음과 같이 제타 함수 조절로 정의할 수 있다.

이 값들은 물론 일반적으로 리만 계량 매끄러움 구조에 의존한다. 그런데 다음과 같은 조합은 리만 계량매끄러움 구조에 의존하지 않음을 보일 수 있으며, 이를 라이데마이스터 비틀림이라고 한다.

위상수학적 정의[편집]

다음이 주어졌다고 하자.

  • 연결 유한 CW 복합체 . 그 범피복 공간라고 하자.
  • 의 유한 차원 직교 행렬 표현

그렇다면, 실수 계수 사슬 복합체 를 다음과 같이 정의할 수 있다.

호몰로지가 모두 0이라고 하자.

이제, 다음 조건을 만족시키는 임의의 사슬 사이의 성분별 사상

을 생각하자.

(이는 사슬 사상이 아니다.) 그렇다면

를 생각할 수 있다. 이들은 사이의 실수 벡터 공간 동형을 정의한다.

그렇다면, 라이데마이스터 비틀림은 다음과 같다.

이 값은 의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다.

두 정의 사이의 관계[편집]

다음이 주어졌다고 하자.

그렇다면, 임의의 점 에 대하여, 홀로노미

를 정의할 수 있다. 이는 군 준동형이다.

그렇다면,

이다. 여기서 좌변은 위상수학적 정의이며, 우변은 해석적 정의이다.

응용[편집]

라이데마이스터 비틀림은 천-사이먼스 이론섭동 이론적 양자화에서 등장한다.

역사[편집]

쿠르트 베르너 프리드리히 라이데마이스터(독일어: Kurt Werner Friedrich Reidemeister, 1893~1971)가 1935년에 렌즈 공간을 분류하기 위하여 라이데마이스터 비틀림의 위상수학적 정의를 도입하였다.[2] 라이데마이스터의 정의는 오직 성분별 선형 위상 동형(영어: piecewise linear homeomorphism)에 대하여 불변이었으나, 1960년에 브로디(영어: E. J. Brody)가 이 값이 모든 위상 동형에 대하여 불변임을 증명하였다.[3]

1971년에 대니얼 버릴 레이(영어: Daniel Burrill Ray, 1928~1980)와 이저도어 싱어가 라이데마이스터 비틀림의 해석적 정의를 도입하였으며,[4] 이 두 정의가 서로 동치라고 추측하였다. 이 추측은 1978년 경에 제프 치거[5][6]와 베르너 뮐러(독일어: Werner Müller)[7]가 각각 독자적으로 증명하였다.

참고 문헌[편집]

  1. Nicolaescu, Liviu I. (2003). 《The Reidemeister torsion of 3-manifolds》. de Gruyter Studies in Mathematics (영어) 30. Walter de Gruyter & Co. ISBN 3-11-017383-2. MR 1968575. 
  2. Reidemeister, Kurt (1935). “Homotopieringe und Linsenräume”. 《Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg》 (독일어) 11: 102–109. doi:10.1007/BF02940717. 
  3. Brody, E. J. (1960). “The topological classification of the lens spaces”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 71 (1): 163–184. JSTOR 1969884. doi:10.2307/1969884. 
  4. Ray, Daniel Burrill; Singer, Isadore Manuel (1971). “R-torsion and the Laplacian on Riemannian manifolds.”. 《Advances in Math.》 (영어) 7 (2): 145–210. MR 0295381. doi:10.1016/0001-8708(71)90045-4. 
  5. Cheeger, Jeff (1977). “Analytic Torsion and Reidemeister Torsion”. 《PNAS》 (영어) 74 (7): 2651–2654. MR 0451312. PMC 431228. PMID 16592411. doi:10.1073/pnas.74.7.2651. 
  6. Cheeger, Jeff (1979). “Analytic torsion and the heat equation”. 《Annals of Mathematics》 109 (2): 259–322. JSTOR 1971113. MR 0528965. doi:10.2307/1971113. 
  7. Müller, Werner (1978). “Analytic torsion and R-torsion of Riemannian manifolds.”. 《Advances in Mathematics》 (영어) 28 (3): 233–305. MR 0498252. doi:10.1016/0001-8708(78)90116-0. 

외부 링크[편집]