제타 함수 조절

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제타 함수 조절(영어: zeta function regularization)은 물리학에서 쓰이는 조절 기법의 하나다. 수치해석적으로는 수렴 속도가 느려 쓸모가 없으나, 이론적으로는 다루기 편하다. 특히 카시미르 효과영점 에너지의 계산과 끈 이론에 자주 쓰인다. 이 조절을 쓸 때 자주 등장하는 리만 제타 함수의 이름을 딴 것이다.

정의[편집]

어떤 발산하는 합

S=\sum_{n=1}^\infty f(n)

이 있다고 하자. 여기서 f(x)정칙함수라고 가정하자. 이를 제타 함수 조절하려면 다음과 같이 규칙자 s를 삽입한다.

S(s)=\sum_{n=1}^\infty f(n)n^{-s}

여기서 s가 충분히 크다면 S(s)는 수렴하는 경우가 잦다. 이와 같은 경우에, 만약 s=0에서의 특이점이 제거가능하다면, s=0해석적 연속을 취한다.

예를 들어, 카시미르 효과 등에 등장하는 합

S=\sum_{n=1}^\infty n

을 생각하자. 이 경우에는 규칙화하면

S(s)=\sum_{n=1}^\infty n^{1-s}=\zeta(s-1)

을 얻는다. (여기서 \zeta(x)리만 제타 함수다.) 이제 s\to0을 취하면

\lim_{s\to0}S(s)=\zeta(-1)=-\frac1{12}

이 된다.

바깥 고리[편집]