천-사이먼스 이론

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이론물리학에서, 천-사이먼스 이론([陳]-Simons理論, 영어: Chern–Simons theory)은 3차 천-사이먼스 형식작용으로 갖는 3차원 시바르츠형 위상 양자장론이다.[1][2] 끈 이론응집물질물리학, 매듭 이론에서 쓰인다.

정의[편집]

가 단순 리 군이고, 그 리 대수라고 하자. 3차원 매끄러운 다양체 위에 -주접속 가 주어졌다고 하자. 는 국소적으로 정의된, 값을 가지는 1차 미분형식이다. 이 때, 3차 천-사이먼스 형식은 다음과 같다.

여기서 는 주어진 표현에 대한 대각합이다. SU(N) 또는 U(N)의 경우, 레벨이 정수가 되게 하려면 차원 기본 표현을 취한다.

천-사이먼스 형식은 닫힌 형식이다. 따라서, 천-사이먼스 형식을 작용으로 하는 작용

은 작은 게이지 변환(게이지 변환들의 위상군에서 단위원을 포함하는 연결 성분에 속한 게이지 변환)에 대하여 불변이다. 따라서 이는 고전적으로 게이지 불변 운동 방정식을 정의하며, 이는

이다. 즉, 이 이론은 고전적인 질량껍질자유도가 없다. 따라서, 이를 양자화하면 위상 양자장론을 얻게 된다. 이 이론의 짜임새 공간-주다발들과 이 위에 정의된 주접속들의 집합이다.

양자역학적으로는 작용이 큰 게이지 변환(영어: large gauge transformation)도 고려해야 한다. 이 경우, 큰 게이지 변환에 따라

()

꼴로 변환하여야지만 경로 적분

이 불변이다. 따라서, 작용이

이어야 한다. 이 작용이 정의하는 위상 양자장론천-사이먼스 이론이라고 한다. 여기서 는 임의의 0이 아닌 정수이며, 천-사이먼스 이론의 레벨(영어: level)이라고 한다.

양자화[편집]

천-사이먼스 이론은 기하학적 양자화를 통해 양자화할 수 있다.[3][4] 3차원 다양체 을 생각하자. 위상 양자장론의 공리계에 따라서, 에 대응하는 힐베르트 공간 이 존재하여야 한다. 이 경우, 다음과 같은 게이지 고정 조건을 가하자.

이 경우, 작용은 다음과 같다.

여기서 이다. 이 게이지에서 운동 방정식은 자명하다.

또한, 게이지 고정 조건에 의한 다음과 같은 제약 조건이 존재한다.[3]:367

따라서, 고전적으로 위상 공간 위의 -평탄 주접속들(의 게이지 변환에 대한 동치류들)의 모듈러스 공간 이다.

기하학적 양자화[편집]

평탄 주접속모듈러스 공간 은 자연스럽게 심플렉틱 구조를 가진다. 만약 에 임의의 복소구조 를 가하면, 이에 따라 켈러 구조를 가지게 된다. 따라서, 켈러 구조의 기하학적 양자화를 사용할 수 있다. 에 준양자 구조 을 가하면, 그 힐베르트 공간은

이다. 보다 일반적으로, 레벨이 인 경우, 힐베르트 공간은

가 된다.[3]:369

힐베르트 공간 의 복소구조 에 의존하며, 따라서 의 복소구조의 모듈러스 공간(타이히뮐러 공간 ) 위의 벡터 다발을 이룬다.

천-사이먼스 이론이 위상 양자장론을 이루려면 상태 공간은 복소구조에 의존할 수 없다. 그러나 벡터 다발 은 사영적으로 평탄한 주접속(projectively flat connection)을 지녀서, 사영 힐베르트 공간 는 복소구조에 의존하지 않는 것을 보일 수 있다.

레벨의 재규격화[편집]

양자화를 가하면, 천-사이먼스 이론의 레벨 가 바뀌게 된다. 즉, 게이지 군이 이고, 고전적으로 레벨이 인 천-사이먼스 이론을 양자화하면, 측도의 게이지 변환 성질에 의하여 유효 천-사이먼스 레벨이

가 된다.[5][6] 여기서 이중 콕서터 수이다.

다음과 같은 이론들을 생각하자.

  • 게이지 군이 인 3차원 양-밀스 이론에, 레벨 의 (초대칭) 천-사이먼스 항을 추가

이는 물론 위상 양자장론이 아니며, 오직 만이 가능하다.[7]:§5 이 경우, 초대칭의 수 에 따라 레벨의 재규격화가 달라진다.[8] (두 개의 초전하, 하나의 마요라나 페르미온)인 경우, 레벨의 재규격화는 이중 콕서터 수의 절반이다. 이 경우 양자화 조건은 재규격화된 레벨이 정수라는 것이다.[9]

따라서, 이중 콕서터 수가 홀수인 경우에는 고전적 레벨 반정수가 된다. 인 경우 재규격화가 없다.

초대칭 수 레벨의 변화

초대칭 천-사이먼스 이론[편집]

순수 천-사이먼스 이론에 마요라나 페르미온을 추가하여, 초대칭 천-사이먼스 이론(영어: supersymmetric Chern–Simons theory)을 만들 수 있다.[10][11] 이 경우 페르미온은 운동 에너지 항이 없어 국소적 자유도를 갖지 않는다. 이렇게 하여 초대칭 천-사이먼스 이론을 정의할 수 있다.

예를 들어, 초대칭 천-사이먼스 이론의 경우, 게이지 보손 에 대응하는 마요라나 게이지노 를 추가하면 작용은 다음과 같다.

여기서

  • 는 3차원 마요라나 스피너 장이다. 굽은 공간에서, 이는 필바인을 통해 정의된다.
  • 의 (3차) 부피 형식이다.

게이지노 장 의 작용은 리만 계량에 의존한다. 그러나 이는 운동항이 없어 보조장이므로, 페르미온의 경로 적분을 계산할 수 있고, 이렇게 페르미온을 적분해 없애면 원래 천-사이먼스 이론만이 남는다.

이 작용의 초대칭은 다음과 같다.[11]:(5), (6)

여기서 은 초대칭 매개 변수이다.

이는 물론 위상 양자장론으로서 (비초대칭) 천-사이먼스 이론과 같지만, 만약 천-사이먼스 항을 3차원 초대칭 게이지 이론에 추가할 경우 위와 같이 적절히 초대칭화된 천-사이먼스 항을 사용해야 한다.

응용[편집]

3차원 양자 중력[편집]

3차원 양자 중력은 천-사이먼스 이론의 일종이다.[12][13][14][15] 이는 3차원에는 중력자가 국소적 질량껍질자유도를 갖지 않기 때문에 가능하다.

매듭 이론[편집]

천-사이먼스 이론은 매듭 이론에서 핵심적인 역할을 한다. 존스 다항식홈플리 다항식은 천-사이먼스 이론의 윌슨 고리로 해석할 수 있다.

분수 양자 홀 효과[편집]

응집물질물리학에서, 천-사이먼스 이론은 분수 양자 홀 효과를 설명하는 데 쓰인다.[16]

끈 이론[편집]

초대칭 천-사이먼스 이론은 끈 이론에서 자주 등장한다. D-막의 세계부피 이론의 작용은 천-사이먼스 형 항들을 포함하며, 겹친 M2-막 위에 존재하는 이론(ABJM 이론) 또한 천-사이먼스 이론의 일종이다. 또한, 천-사이먼스 이론은 등각 장론의 하나인 베스-추미노-위튼 모형과도 관련되어 있다.

역사[편집]

1978년에 알베르트 시바르츠가 아벨 게이지 군에 대한 천-사이먼스 이론을 최초로 고전적으로 다루었다.[17]

1981년에 조너선 숀펠드(영어: Jonathan F. Schonfeld)가 3차원 양-밀스 이론에 천-사이먼스 항을 추가한 모형을 도입하였다.[18] 1982년에 스탠리 데저(영어: Stanley Deser)와 로만 야츠키프(폴란드어: Roman Jackiw), 스티븐 템플턴(영어: Stephen Templeton)이 비아벨 천-사이먼스 항이 존재한다면 레벨이 양자화됨을 지적하였다.[19]:977, (9)[20]:§Ⅲ.A, (3.15) 1986년에 그레그 저커먼(영어: Gregg J. Zuckerman)이 반단순 게이지 군에 대한 천-사이먼스 이론(즉, 양-밀스 항을 포함하지 않고, 오직 천-사이먼스 항만을 포함하는 이론)을 고전적으로 다루었다.[21]

에드워드 위튼이 1989년에 반단순 게이지 군에 대한 천-사이먼스 이론을 양자화하였으며, 존스 다항식베스-추미노-위튼 모형과의 관계를 밝혔다.[3][4]

“천-사이먼스”라는 이름은 이 이론의 작용이 수학적으로 3차 천-사이먼스 형식이기 때문이다. 이는 천싱선제임스 해리스 사이먼스가 정의하였다.

참고 문헌[편집]

  1. Dunne, Gerald V. (1999). “Aspects of Chern–Simons theory”. Bibcode:1999tald.conf..177D. arXiv:hep-th/9902115. 
  2. Labastida, J. M. F. (1999). “Chern–Simons gauge theory: ten years after”. 《American Institute of Physics Conference Proceedings》 484: 1–40. Bibcode:1999AIPC..484....1L. ISBN 1563968940. arXiv:hep-th/9905057. doi:10.1063/1.59663. 
  3. Witten, Edward (1989). “Quantum field theory and the Jones polynomial”. 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 121 (3): 351–399. Bibcode:1989CMaPh.121..351W. ISSN 0010-3616. MR 0990772. Zbl 0667.57005. doi:10.1007/BF01217730. 
  4. Axelrod, Scott; Della Pietra, Steve; Witten, Edward (1991). “Geometric quantization of Chern–Simons gauge theory”. 《Journal of Differential Geometry》 (영어) 33 (3): 787–902. MR 1100212. Zbl 0697.53061. 
  5. Labastida, J. M. F.; Ramallo, A. V. (1989년 8월 17일). “Operator formalism for Chern-Simons theories” (PDF). 《Physics Letters B》 (영어) 227 (1): 92–102. doi:10.1016/0370-2693(89)91289-6. 
  6. Labastida, J. M. F.; Ramallo, A. V. (1989년 9월 14일). “Chern-Simons theory and conformal blocks”. 《Physics Letters B》 (영어) 228 (2): 214–222. doi:10.1016/0370-2693(89)90661-8. 
  7. Kao, Hsien-Chung; Kimyeong Lee. “Self-Dual Chern-Simons Higgs Systems with an N=3 Extended Supersymmetry”. 《Physical Review D》 (영어). Bibcode:1992PhRvD..46.4691K. arXiv:hep-th/9205115. doi:10.1103/PhysRevD.46.4691. 
  8. Kao, Hsien-Chung; Lee, Kimyeong; Lee, Taejin. “The Chern-Simons Coefficient in Supersymmetric Yang-Mills Chern-Simons Theories”. 《Physics Letters B》 (영어). Bibcode:1995hep.th....6170K. arXiv:hep-th/9506170. doi:10.1016/0370-2693(96)00119-0. 
  9. Witten, Edward. “Supersymmetric index of three-dimensional gauge theory” (영어). Bibcode:1999hep.th....3005W. arXiv:hep-th/9903005. 
  10. Nishino, Hitoshi; Gates, Sylvester James, Jr. (1993). “Chern–Simons theories with supersymmetries in three dimensions”. 《International Journal of Modern Physics A》 (영어) 8 (19): 3371–3421. doi:10.1142/S0217751X93001363. 
  11. Schwarz, John Henry (2004년 11월). “Superconformal Chern–Simons theories”. 《Journal of High Energy Physics》 (영어) 2004 (11): 78. Bibcode:2004JHEP...11..078S. arXiv:hep-th/0411077. doi:10.1088/1126-6708/2004/11/078. 
  12. Achúcarro, A.; Townsend, P. (1986). “A Chern–Simons action for three-dimensional anti-De Sitter supergravity theories”. 《Physics Letters B》 (영어) 180: 89. Bibcode:1986PhLB..180...89A. doi:10.1016/0370-2693(86)90140-1. 
  13. Witten, Edward (1988년 12월 19일). “(2+1)-dimensional gravity as an exactly soluble system” (PDF). 《Nuclear Physics B》 (영어) 311 (1): 46–78. Bibcode:1988NuPhB.311...46W. doi:10.1016/0550-3213(88)90143-5. 
  14. Witten, Edward. “Three-dimensional gravity revisited” (영어). arXiv:0706.3359. 
  15. Zanelli, Jorge. “Lecture notes on Chern–Simons (super-)gravities” (영어). Bibcode:2005hep.th....2193Z. arXiv:hep-th/0502193. 
  16. Lopez, Ana; Eduardo Fradkin. “Fermionic Chern-Simons Field Theory for the Fractional Hall Effect” (영어). Bibcode:1997cond.mat..4055L. 
  17. Schwartz, A. S. (1978년 1월). “The partition function of degenerate quadratic functional and Ray-Singer invariants”. 《Letters in Mathematical Physics》 (영어) 2 (3): 247–252. doi:10.1007/BF00406412. 
  18. Schonfeld, Jonathan F. (1981년 7월 13일). “A mass term for three dimensional gauge fields”. 《Nuclear Physics B》 (영어) 185 (1): 157–171. doi:10.1016/0550-3213(81)90369-2. 
  19. Deser, Stanley; Jackiw, Roman; Templeton, Stephen (1982년 4월 12일). “Three-dimensional massive gauge theories”. 《Physical Review Letters》 (영어) 48 (15): 975–978. Bibcode:1982PhRvL..48..975D. doi:10.1103/PhysRevLett.48.975. 
  20. Deser, Stanley; Jackiw, Roman; Templeton, Stephen (1982년 5월). “Topologically massive gauge theories”. 《Annals of Physics》 (영어) 140 (2): 372–411. doi:10.1016/0003-4916(82)90164-6. 
  21. Zuckerman, Gregg J. (1987년 9월). 〈Action principles and global geometry〉. Yau, S.-T. 《Mathematical Aspects of String Theory. Proceedings of the Conference on Mathematical Aspects of String Theory, California, USA, August 1986》. Advanced Series in Mathematical Physics (영어) 1. World scientific. 259–284쪽. ISBN 978-9971-5-0274-4. doi:10.1142/9789812798411_0013. 

외부 링크[편집]