천-사이먼스 이론

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이론물리학에서, 천-사이먼스 이론([陳]-Simons理論, 영어: Chern–Simons theory)은 3차 천-사이먼스 형식작용으로 갖는 3차원 시바르츠형 위상 양자장론이다.[1][2][3] 끈 이론응집물질물리학, 매듭 이론에서 쓰인다.

정의[편집]

가 단순 리 군이고, 그 리 대수라고 하자. 3차원 매끄러운 다양체 위에 -주접속 가 주어졌다고 하자. 는 국소적으로 정의된, 값을 가지는 1차 미분형식이다. 이 때, 3차 천-사이먼스 형식은 다음과 같다.

여기서 는 주어진 표현에 대한 대각합이다. SU(N) 또는 U(N)의 경우, 레벨이 정수가 되게 하려면 차원 기본 표현을 취한다.

천-사이먼스 형식은 닫힌 형식이다. 따라서, 천-사이먼스 형식을 작용으로 하는 작용

은 작은 게이지 변환(이지 변환들의 위상군에서 단위원을 포함하는 연결 조각(connected piece)에 속한 게이지 변환)에 대하여 불변이다. 따라서 이는 고전적으로 게이지 불변 운동 방정식을 정의하며, 이는

이다. 즉, 이 이론은 고전적인 질량껍질자유도가 없다. 따라서, 이를 양자화하면 위상 양자장론을 얻게 된다. 이 이론의 짜임새 공간-주다발들과 이 위에 정의된 주접속들의 집합이다.

양자역학적으로는 작용이 큰 게이지 변환(영어: large gauge transformation)도 고려해야 한다. 이 경우, 큰 게이지 변환에 따라

()

꼴로 변환하여야지만 경로 적분

이 불변이다. 따라서, 작용이

이어야 한다. 이 작용이 정의하는 위상 양자장론천-사이먼스 이론이라고 한다. 여기서 는 임의의 0이 아닌 정수이며, 천-사이먼스 이론의 레벨(영어: level)이라고 한다.

양자화[편집]

천-사이먼스 이론은 기하학적 양자화를 통해 양자화할 수 있다.[4][5] 3차원 다양체 을 생각하자. 위상 양자장론의 공리계에 따라서, 에 대응하는 힐베르트 공간 이 존재하여야 한다. 이 경우, 다음과 같은 게이지 고정 조건을 가하자.

이 경우, 작용은 다음과 같다.

여기서 이다. 이 게이지에서 운동 방정식은 자명하다.

또한, 게이지 고정 조건에 의한 다음과 같은 제약 조건이 존재한다.[4]:367

따라서, 고전적으로 위상 공간 위의 -평탄 주접속들(의 게이지 변환에 대한 동치류들)의 모듈러스 공간 이다.

기하학적 양자화[편집]

평탄 주접속모듈러스 공간 은 자연스럽게 심플렉틱 구조를 가진다. 만약 에 임의의 복소구조 를 가하면, 이에 따라 켈러 구조를 가지게 된다. 따라서, 켈러 구조의 기하학적 양자화를 사용할 수 있다. 에 준양자 구조 을 가하면, 그 힐베르트 공간은

이다. 보다 일반적으로, 레벨이 인 경우, 힐베르트 공간은

가 된다.[4]:369

힐베르트 공간 의 복소구조 에 의존하며, 따라서 의 복소구조의 모듈러스 공간(타이히뮐러 공간 ) 위의 벡터 다발을 이룬다.

천-사이먼스 이론이 위상 양자장론을 이루려면 상태 공간은 복소구조에 의존할 수 없다. 그러나 벡터 다발 은 사영적으로 평탄한 주접속(projectively flat connection)을 지녀서, 사영 힐베르트 공간 는 복소구조에 의존하지 않는 것을 보일 수 있다.

레벨의 재규격화[편집]

양자화를 가하면, 천-사이먼스 이론의 레벨 가 바뀌게 된다. 즉, 게이지 군이 이고, 고전적으로 레벨이 인 천-사이먼스 이론을 양자화하면, 측도의 게이지 변환 성질에 의하여 유효 천-사이먼스 레벨이

가 된다.[6][7] 여기서 이중 콕서터 수이다.

다음과 같은 이론들을 생각하자.

  • 게이지 군이 인 3차원 양-밀스 이론에, 레벨 의 (초대칭) 천-사이먼스 항을 추가

이는 물론 위상 양자장론이 아니며, 오직 만이 가능하다.[8]:§5 이 경우, 초대칭의 수 에 따라 레벨의 재규격화가 달라진다.[9] (두 개의 초전하, 하나의 마요라나 페르미온)인 경우, 레벨의 재규격화는 이중 콕서터 수의 절반이다. 이 경우 양자화 조건은 재규격화된 레벨이 정수라는 것이다.[10]

따라서, 이중 콕서터 수가 홀수인 경우에는 고전적 레벨 반정수가 된다. 인 경우 재규격화가 없다.

초대칭 수 레벨의 변화

초대칭 천-사이먼스 이론[편집]

순수 천-사이먼스 이론에 마요라나 페르미온을 추가하여, 초대칭 천-사이먼스 이론(영어: supersymmetric Chern–Simons theory)을 만들 수 있다.[11][12] 이 경우 페르미온은 운동 에너지 항이 없어 국소적 자유도를 갖지 않는다. 이렇게 하여 초대칭 천-사이먼스 이론을 정의할 수 있다.

예를 들어, 초대칭 천-사이먼스 이론의 경우, 게이지 보손 에 대응하는 마요라나 게이지노 를 추가하면 작용은 다음과 같다.

여기서

  • 는 3차원 마요라나 스피너 장이다. 굽은 공간에서, 이는 필바인을 통해 정의된다.
  • 의 (3차) 부피 형식이다.

게이지노 장 의 작용은 리만 계량에 의존한다. 그러나 이는 운동항이 없어 보조장이므로, 페르미온의 경로 적분을 계산할 수 있고, 이렇게 페르미온을 적분해 없애면 원래 천-사이먼스 이론만이 남는다.

이 작용의 초대칭은 다음과 같다.[12]:(5), (6)

여기서 은 초대칭 매개 변수이다.

이는 물론 위상 양자장론으로서 (비초대칭) 천-사이먼스 이론과 같지만, 만약 천-사이먼스 항을 3차원 초대칭 게이지 이론에 추가할 경우 위와 같이 적절히 초대칭화된 천-사이먼스 항을 사용해야 한다.

응용[편집]

3차원 양자 중력[편집]

3차원 양자 중력은 천-사이먼스 이론의 일종이다.[13][14][15][16] 이는 3차원에는 중력자가 국소적 질량껍질자유도를 갖지 않기 때문에 가능하다.

매듭 이론[편집]

천-사이먼스 이론은 매듭 이론에서 핵심적인 역할을 한다. 존스 다항식홈플리 다항식은 천-사이먼스 이론의 윌슨 고리로 해석할 수 있다.

분수 양자 홀 효과[편집]

응집물질물리학에서, 천-사이먼스 이론은 분수 양자 홀 효과를 설명하는 데 쓰인다.[17]

끈 이론[편집]

초대칭 천-사이먼스 이론은 끈 이론에서 자주 등장한다. D-막의 세계부피 이론의 작용은 천-사이먼스 형 항들을 포함하며, 겹친 M2-막 위에 존재하는 이론(ABJM 이론) 또한 천-사이먼스 이론의 일종이다. 또한, 천-사이먼스 이론은 등각 장론의 하나인 베스-추미노-위튼 모형과도 관련되어 있다.

역사[편집]

에드워드 위튼이 1988년에 도입하였다.[1][4][5] “천-사이먼스”라는 이름은 이 이론의 작용이 수학적으로 3차 천-사이먼스 형식이기 때문이다. 이는 천싱선제임스 해리스 사이먼스가 정의하였다.

참고 문헌[편집]

  1. Witten, Edward (1988년 9월). “Topological quantum field theory”. 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 117 (3): 353–386Superconformal Chern–Simons Theoriessc. Bibcode:1988CMaPh.117..353W. ISSN 0010-3616. MR 0953828. Zbl 0656.53078. doi:10.1007/BF01223371. 
  2. Dunne, Gerald V. (1999). “Aspects of Chern–Simons theory”. Bibcode:1999tald.conf..177D. arXiv:hep-th/9902115. 
  3. Labastida, J. M. F. (1999). “Chern–Simons gauge theory: ten years after”. 《American Institute of Physics Conference Proceedings》 484: 1–40. Bibcode:1999AIPC..484....1L. ISBN 1563968940. arXiv:hep-th/9905057. doi:10.1063/1.59663. 
  4. Witten, Edward (1989). “Quantum field theory and the Jones polynomial”. 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 121 (3): 351–399. Bibcode:1989CMaPh.121..351W. ISSN 0010-3616. MR 0990772. Zbl 0667.57005. doi:10.1007/BF01217730. 
  5. Axelrod, Scott; Steve Della Pietra, Edward Witten (1991). “Geometric quantization of Chern–Simons gauge theory”. 《Journal of Differential Geometry》 (영어) 33 (3): 787–902. MR 1100212. Zbl 0697.53061. 
  6. Labastida, J. M. F.; Ramallo, A. V. (1989년 8월 17일). “Operator formalism for Chern-Simons theories” (PDF). 《Physics Letters B》 (영어) 227 (1): 92–102. doi:10.1016/0370-2693(89)91289-6. 
  7. Labastida, J. M. F.; Ramallo, A. V. (1989년 9월 14일). “Chern-Simons theory and conformal blocks”. 《Physics Letters B》 (영어) 228 (2): 214–222. doi:10.1016/0370-2693(89)90661-8. 
  8. Kao, Hsien-Chung; Kimyeong Lee. “Self-Dual Chern-Simons Higgs Systems with an N=3 Extended Supersymmetry”. 《Physical Review D》 (영어). Bibcode:1992PhRvD..46.4691K. arXiv:hep-th/9205115. doi:10.1103/PhysRevD.46.4691. 
  9. Kao, Hsien-Chung; Lee, Kimyeong; Lee, Taejin. “The Chern-Simons Coefficient in Supersymmetric Yang-Mills Chern-Simons Theories”. 《Physics Letters B》 (영어). Bibcode:1995hep.th....6170K. arXiv:hep-th/9506170. doi:10.1016/0370-2693(96)00119-0. 
  10. Witten, Edward. “Supersymmetric index of three-dimensional gauge theory” (영어). Bibcode:1999hep.th....3005W. arXiv:hep-th/9903005. 
  11. Nishino, Hitoshi; Gates, Sylvester James, Jr. (1993). “Chern–Simons theories with supersymmetries in three dimensions”. 《International Journal of Modern Physics A》 (영어) 8 (19): 3371–3421. doi:10.1142/S0217751X93001363. 
  12. Schwarz, John Henry (2004년 11월). “Superconformal Chern–Simons theories”. 《Journal of High Energy Physics》 (영어) 2004 (11): 78. Bibcode:2004JHEP...11..078S. arXiv:hep-th/0411077. doi:10.1088/1126-6708/2004/11/078. 
  13. Achúcarro, A.; Townsend, P. (1986). “A Chern–Simons action for three-dimensional anti-De Sitter supergravity theories”. 《Physics Letters B》 (영어) 180: 89. Bibcode:1986PhLB..180...89A. doi:10.1016/0370-2693(86)90140-1. 
  14. Witten, Edward (1988년 12월 19일). “(2+1)-dimensional gravity as an exactly soluble system” (PDF). 《Nuclear Physics B》 (영어) 311 (1): 46–78. Bibcode:1988NuPhB.311...46W. doi:10.1016/0550-3213(88)90143-5. 
  15. Witten, Edward. “Three-dimensional gravity revisited” (영어). arXiv:0706.3359. 
  16. Zanelli, Jorge. “Lecture notes on Chern–Simons (super-)gravities” (영어). Bibcode:2005hep.th....2193Z. arXiv:hep-th/0502193. 
  17. Lopez, Ana; Eduardo Fradkin. “Fermionic Chern-Simons Field Theory for the Fractional Hall Effect” (영어). Bibcode:1997cond.mat..4055L. 

외부 링크[편집]