코호몰로지 연산

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대수적 위상수학에서 코호몰로지 연산(cohomology演算, 영어: cohomology operation)은 코호몰로지 함자 사이의 자연 변환, 또는 이를 나타내는 에일렌베르크-매클레인 공간 사이의 연속 함수호모토피류이다.

정의[편집]

1차 코호몰로지 연산[편집]

자연수 아벨 군 에 대하여, 형 1차 코호몰로지 연산(영어: primary cohomology operation of type )은 에일렌베르크-매클레인 공간 사이의 연속 함수호모토피류

이다. 형 1차 코호몰로지 연산들의 집합은 에일렌베르크-매클레인 공간코호몰로지

를 이룬다. 형 1차 코호몰로지 연산 는 코호몰로지 함자 사이의 자연 변환

을 유도한다.

2차 코호몰로지 연산[편집]

에일렌베르크-매클레인 공간은 다음과 같은 세르 올뭉치를 갖는다.

여기서 고리 공간, 는 밑점에서 시작하는 경로 공간을 뜻한다. 임의의 1차 코호몰로지 연산 에 대하여, 올뭉치당김

을 정의할 수 있다. 위의 형 2차 코호몰로지 연산 위의 코호몰로지류

이다. 즉, 다음과 같은 호모토피류들이 존재한다.

그렇다면,

를 사용하여

를 정의할 수 있다.

2차 코호몰로지 연산 는 코호몰로지류 위의 함수

를 정의한다. 구체적으로, 코호몰로지류

가 주어졌을 때,

이다. 여기서 사용한 역함수 는 일반적으로 잘 정의되지 않는다. 하지만,

  • 위에서 항상 하나 이상의 값을 갖는다.
  • 는 일반적으로 여러 개의 값을 가지지만, 가능한 값들의 차는 모두 에 속한다.

고차 코호몰로지 연산[편집]

보다 일반적으로, 차 코모홀로지 연산에 대응하는 차 코호몰로지 연산의 개념을 정의할 수 있다. 예를 들어, 1차 코호몰로지 연산 에 대한 2차 코호몰로지 연산 이 주어졌다고 할 때, 그 위의 3차 코호몰로지 연산은 호모토피류 이다. 즉, 다음과 같다.

이는 연산

을 정의한다.

[편집]

특이 코호몰로지에 대하여 정의되는 코호몰로지 연산은 다음을 들 수 있다.

  • 합곱 . 이는 불안정 연산이다.
  • 스틴로드 제곱
  • 스틴로드 축소 제곱 , 소수
  • 폰트랴긴 제곱
  • 아벨 군짧은 완전열 에 대하여, 복시테인 준동형
  • 포스트니코프 제곱
  • 매시 곱. 이는 2차 코호몰로지 연산이다.

참고 문헌[편집]

  • Mosher, Robert E.; Tangora, Martin C. (1968). 《Cohomology operations and applications in homotopy theory》 (영어). Harper & Row. MR 0226634. 
  • Steenrod, N. E. (1962). 《Cohomology operations》. Annals of Mathematics Studies (영어) 50. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-07924-0. MR 0145525. 
  • Baues, Hans-Joachim (2006). 《The algebra of secondary cohomology operations》. Progress in Mathematics (영어) 247. Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-7448-8. MR 2220189. 
  • Harper, John R. (2002). 《Secondary cohomology operations》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 49. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3198-4. MR 1913285. 

외부 링크[편집]