잉여류

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G=\mathbb Z/8 속의, H=\{0,4\}\cong\mathbb Z/4의 잉여류들

군론에서, 잉여류(剩餘類, 영어: coset 코셋[*])는 어떤 부분군으로의 곱셈에 대한 궤도들의 집합이다.

정의[편집]

G이고, H\le G가 그 부분군이며, g\in GG의 원소일 때, g가 속하는 H왼쪽 잉여류(영어: left coset)는 다음과 같다.

gH=\{gh\colon h\in H\}

마찬가지로, g가 속하는 H오른쪽 잉여류(영어: right coset)는 다음과 같다.

Hg=\{hg\colon h\in H\}

(아벨 군의 경우를 비롯해 덧셈 기호를 사용할 때에는 잉여류를 g+H나 H+g 등으로 표시한다.)

G 속의 H의 모든 잉여류의 집합을 G/H라고 표기한다. (만약 H정규 부분군일 경우, 이는 자연스러운 군의 구조를 가지며, 몫군이라고 한다.) G/H크기|G:H|라고 표기하며, HG 속에서의 지표(指標, 영어: index)라고 한다. 즉, 부분군의 지표는 잉여류들의 수이다.

잉여류 공간[편집]

G위상군이라고 하자. 그렇다면, 잉여류 집합 G/H는 자연스러운 몫공간 위상을 갖는다. 이를 잉여류 공간(영어: coset space)이라고 한다. 이는 동차공간을 이룬다.

성질[편집]

G의 부분군 H에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

만약 G유한군이라면, 부분군 H\le G의 지표는 다음과 같다.

|G:H|=|G|/|H|

만약 일련의 부분군들 K\le H\le G이 주어졌다면,

|G:K|=|G:H|\cdot|H:K|

이다. 여기서 우변은 기수의 곱셈이다.

지표가 2인 부분군은 항상 정규 부분군이다. 보다 일반적으로, p|G|의 최소 소인수라면, 지표가 p인 부분군은 항상 정규 부분군이다.

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]