대칭 공간

이 문서는 특별한 동차 공간에 관한 것입니다. 약한 분리 공리를 만족시키는 위상 공간에 대해서는 R0 공간 문서를 참고하십시오.

리만 기하학과 리 군론에서 대칭 공간(對稱空間, 영어: symmetric space)은 일반점의 안정자군이 어떤 대합에 의하여 정의되는 동차 공간이다.

정의

대칭 공간 $G/H$는 다음 조건을 만족시키는 동차 공간이다.

$H$는 어떤 대합 $\sigma \colon G\to G$에 대하여, $G^{\sigma }$의 열린집합이다.

여기서

$G^{\sigma }=\{g\in G\colon \sigma g=g\}$

는 $\sigma$에 의한 고정점들의 부분 공간이다.

대칭 공간의 계수(階數, 영어: rank)는 접공간의 부분 벡터 공간 가운데, 곡률이 0인 것의 최대 차원이다. 대칭 공간 가운데 에르미트 다양체인 것들은 항상 자동적으로 켈러 다양체를 이루며, 이를 에르미트 대칭 공간(Hermite對稱空間, 영어: Hermitian symmetric space)이라고 한다.

$G$의 리 대수가 ${\mathfrak {g}}$라고 하자. 대합

$\sigma \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$

는 $\sigma ^{2}=1$이므로 고윳값 $\pm 1$을 갖는다. 이에 따라, ${\mathfrak {g}}$는 두 부분 공간의 직합으로 나타내어지며, 고윳값이 $+1$인 부분 대수는 $H$의 리 대수 ${\mathfrak {h}}$와 같다. 고윳값이 $-1$인 부분 대수는 ${\mathfrak {m}}$이라고 적자.

${\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {m}}$

$[{\mathfrak {h}},{\mathfrak {h}}]\subset {\mathfrak {h}}$

$[{\mathfrak {h}},{\mathfrak {m}}]\subset {\mathfrak {m}}$

$[{\mathfrak {m}},{\mathfrak {m}}]\subset {\mathfrak {h}}$

성질

함의 관계

리 군 $G$의 닫힌 부분군 $H\leq G$가 주어졌으며, 이들에 대응하는 리 대수가 각각 ${\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}$라고 하자. 또한, 항상

${\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}+{\mathfrak {m}}$

이 되는 실수 벡터 공간 ${\mathfrak {m}}\subseteq {\mathfrak {g}}$를 찾을 수 있다. 이제, ${\mathfrak {m}}$이 가질 수 있는 다음과 같은 일련의 조건들을 정의할 수 있으며, 이 조건들은 다음과 같은 동차 공간들을 정의한다.

공간	조건
동차 공간	(없음)
가약 동차 공간	$\operatorname {Ad} (H){\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {m}}$
대칭 공간	$\operatorname {Ad} (H){\mathfrak {m}}\subseteq {\mathfrak {m}}$, $[{\mathfrak {m}},{\mathfrak {m}}]\subseteq {\mathfrak {h}}$
리만 대칭 공간	대칭 공간이며, ${\mathfrak {m}}$ 위에 $\operatorname {Ad} (H)$-불변 내적이 존재

여기서, $\operatorname {Ad} (H){\mathfrak {m}}\subseteq {\mathfrak {m}}$인 조건은

$[{\mathfrak {h}},{\mathfrak {m}}]\subseteq {\mathfrak {m}}$

을 함의한다. (만약 $H$의 중심이 자명하다면 이는 리 대수 조건과 동치이다.)

리만 대칭 공간의 경우, ${\mathfrak {m}}$은 $G/H$의 접공간과 동형이므로, ${\mathfrak {m}}$ 위의 내적은 $G/H$ 위의 리만 계량을 정의한다.

분류

콤팩트 대칭 공간은 엘리 카르탕에 의하여 모두 분류되었다.

모든 연결 단일 연결 콤팩트 대칭 공간은 아래 군들의 직접곱이다. 아래 목록에서, 켈러 다양체가 되는 것은 특별히 표시하였다.

이름	G	H	차원	계수	켈러 다양체
AI	$\operatorname {SU} (n)$	$\operatorname {SO} (n)$	$(n-1)(n+2)/2$	$n-1$
AII	$\operatorname {SU} (2n)$	$\operatorname {USp} (2n)$	$(n-1)(2n+1)$	$n-1$
AIII	$\operatorname {SU} (p+q)$	$\operatorname {S} (\operatorname {U} (p)\times \operatorname {U} (q))$	$2pq$	$\min\{p,q\}$	켈러 다양체
BDI	$\operatorname {SO} (p+q)$	$\operatorname {SO} (p)\times \operatorname {SO} (q)$	$pq$	$\min\{p,q\}$	$q=2$인 경우는 켈러 다양체
DIII	$\operatorname {SO} (2n)$	$\operatorname {U} (n)$	$n(n-1)$	$\lfloor n/2\rfloor$	켈러 다양체
CI	$\operatorname {USp} (2n)$	$\operatorname {U} (n)$	$n(n+1)$	$n$	켈러 다양체
CII	$\operatorname {USp} (2p+2q)$	$\operatorname {USp} (2p)\times \operatorname {USp} (2q)$	$4pq$	$\min\{p,q\}$
EI	$E_{6}$	$\operatorname {PUSp} (8)$	42	6
EII	$E_{6}$	$\operatorname {SU} (6)\times \operatorname {SU} (2)$	40	4
EIII	$E_{6}$	$\operatorname {SO} (10)\times \operatorname {U} (1)$	32	2	켈러 다양체
EIV	$E_{6}$	$F_{4}$	26	2
EV	$E_{7}$	$\operatorname {SU} (8)/\{\pm I\}$	70	7
EVI	$E_{7}$	$\operatorname {SO} (12)\times \operatorname {SU} (2)$	64	4
EVII	$E_{7}$	$E_{6}\cdot \operatorname {U} (1)$	54	3	켈러 다양체
EVIII	$E_{8}$	$\operatorname {PSpin} (16)$	128	8
EIX	$E_{8}$	$E_{7}\cdot \operatorname {SU} (2)$	112	4
FI	$F_{4}$	$\operatorname {USp} (6)\times \operatorname {SU} (2)$	28	4
FII	$F_{4}$	$\operatorname {Spin} (9)$	16	1
G	$G_{2}$	$\operatorname {SO} (4)$	8	2

예

모든 콤팩트 반단순 리 군은 (킬링 형식에 비례하는 리만 계량을 부여하면) 자명하게 대칭 공간이다. 비콤팩트 반단순 리 군의 경우, 마찬가지로 준리만 다양체로 간주할 경우 대칭 공간을 이룬다.

초구와 유클리드 공간과 쌍곡 공간은 모두 대칭 공간이다. 초구의 경우, 이는

$\mathbb {S} ^{n}=\operatorname {SO} (n+1)/\operatorname {SO} (n)$

이며, 이는 BD_I의 특별한 경우이다. 유클리드 공간은

$\mathbb {R} ^{n}=\operatorname {ISO} (n)/\operatorname {SO} (n)$

의 꼴로 얻어지며, 쌍곡 공간은

$\mathbb {H} ^{n}=\operatorname {SO} (n,1)/\operatorname {SO} (n)$

의 꼴로 얻어진다.

더 시터르 공간과 반 더 시터르 공간은 준리만 대칭 공간이다.

참고 문헌

• Helgason, Sigurður (1978). 《Differential geometry, Lie groups and symmetric spaces》 (영어). Academic Press. ISBN 0-12-338460-5. 
• Loos, Ottmar (1969). 《Symmetric spaces Ⅰ: General Theory》 (영어). Benjamin. 
• Loos, Ottmar (1969). 《Symmetric spaces Ⅱ: Compact Spaces and Classification》 (영어). Benjamin. 
• Wolf, Joseph A. (1999). 《Spaces of constant curvature》 (영어) 5판. McGraw–Hill. 
• Berger, Marcel (1957). “Les espaces symmétriques noncompacts”. 《Annales Scientifiques de l’École Normale Supérieure》 (프랑스어) 74: 85–177. 
• Helgason, Sigurður (1970). 〈Group representations and symmetric spaces〉. 《Actes du congrès international des mathématiciens, Nice 1970》 (영어). ISBN 0-12-338460-5. 2015년 4월 2일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2015년 7월 6일에 확인함. 

외부 링크

• “Symmetric space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Globally symmetric Riemannian space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Symmetric space”. 《nLab》 (영어).