바이어슈트라스 타원함수

바이어슈트라스 타원함수(Weierstraß楕圓函數, 영어: Weierstrass elliptic function)는 타원함수의 하나다. 타원곡선의 연구에 중요한 역할을 한다. 기호는 $\wp$ .

정의[편집]

바이어슈트라스 타원함수 $\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})$ 는 주기에 대한 격자합으로, 또는 이를 정의하는 미분 방정식으로 정의할 수 있다.

격자합[편집]

$z\in \mathbb {C}$ , $\tau \in \mathbb {H} /\operatorname {PSL} (2;\mathbb {Z} )$ 에 대하여, 바이어슈트라스 타원함수 $\wp (z;\tau )$ 는 다음과 같다.

\wp (z;\tau )={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{(m,n)\neq (0,0)}\left({\frac {1}{(z+m+\tau n)^{2}}}-{\frac {1}{(m+\tau n)^{2}}}\right)

타원곡선 모듈러스 $\tau$ 대신 격자 주기 $\omega _{1},\omega _{2}$ 를 써서 다음과 같이 $\wp (z;\omega _{1},\omega _{2}$ )를 정의하기도 한다.

\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{(m,n)\neq (0,0)}\left({\frac {1}{(z+m\omega _{1}+n\omega _{2})^{2}}}-{\frac {1}{(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{2}}}\right)=\omega _{1}^{-2}\wp (z/\omega _{1};\omega _{2}/\omega _{1})

미분 방정식[편집]

바이어슈트라스 타원함수는 다음과 같은 미분 방정식을 만족시킨다.

\wp '(z;\omega _{1},\omega _{2})^{2}=4\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})^{3}-g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})-g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})

여기서 $\wp '(z;\omega _{1},\omega _{2}u)={{\partial \wp (z;\omega _{1},\omega _{2})} \over {\partial z}}$ 이다. $g_{2}$ 와 $g_{3}$ 는 타원 불변량(영어: elliptic invariant)이라고 불리는 모듈러 형식이며, 이는 주기 $(\omega _{1},\omega _{2})$ 와 다음과 같은 관계를 가진다.

g_{2}(\omega _{1},\omega _{2})=60\sum _{(m,n)\neq (0,0)}(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{-4}

g_{3}(\omega _{1},\omega _{2})=140\sum _{(m,n)\neq (0,0)}(m\omega _{1}+n\omega _{2})^{-6}

이는 타원곡선의 방정식이다. 즉, 다음과 같은 함수

f\colon \mathbb {C} /\Lambda \to \mathbb {CP} ^{2}

f\colon z\mapsto [1,\wp (z;\tau ),\wp '(z;\tau )]

를 정의하면, 이는 원환면 $\mathbb {C} /\Lambda$ 로부터 타원곡선 $y^{2}=4x^{3}-g_{2}x-g_{3}$ 으로 가는, 복소다양체의 동형사상을 이룬다. 여기서 $\Lambda$ 는 $\tau$ 에 대한 격자

\Lambda =\{m+n\tau \colon m,n\in \mathbb {Z} \}

이다. 이에 따라서, 복소 타원곡선은 위상수학적으로 원환면임을 알 수 있다.

성질[편집]

바이어슈트라스 타원함수는 타원함수이므로, 다음과 같은 주기성을 가진다. 임의의 $n_{1},n_{2}\in \mathbb {Z}$ 에 대하여,

\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})=\wp (z+n_{1}\omega _{1}+n_{2}\omega _{2};\omega _{1},\omega _{2})

또한, 모듈러 매개변수 $\tau$ 에 대해서는 모듈러 함수의 성질을 가진다.

\wp (z;\tau )=\wp (z;\tau +1)=\wp (z;-1/\tau )

또한, 바이어슈트라스 타원함수는 짝함수이며, 그 도함수는 홀함수이다.

\wp (z;\omega _{1},\omega _{2})=\wp (-z;\omega _{1},\omega _{2})

\wp ;(z;\omega _{1},\omega _{2})=-\wp '(-z;\omega _{1},\omega _{2})

바이어슈트라스 타원함수 $\wp (-;\omega _{1},\omega _{2})$ 는 타원 곡선 $\mathbb {C} /\langle \omega _{1},\omega _{2}\rangle$ 에서 리만 구면 ${\hat {\mathbb {C} }}$ 로 가는 2겹 분지 피복을 정의한다. 이 경우, 리만-후르비츠 공식에 따라 총 4개의 분지점이 존재하며, 이들은 타원 곡선의 2차 꼬임 부분군이다. 분지점에서의 값들은 (무한대를 제외하고) 통상적으로 $e_{1},e_{2},e_{3}$ 이라고 쓰며, 다음과 같다.