삼각행렬

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선형대수학에서, 삼각행렬(三角行列, 영어: triangular matrix)은 정사각행렬의 특수한 경우로, 주대각선을 기준으로 대각항의 위쪽이나 아래쪽 항들의 값이 모두 0인 경우를 의미한다.

주대각선

다음과 같은 모양을 가지는 행렬 하삼각행렬(lower triangular matrix)로 정의한다.[1]

다음과 같은 모양을 가지는 행렬 상삼각행렬(upper triangular matrix)로 정의한다.[1]

만약 삼각행렬의 대각항이 모두 0인 경우는 순삼각행렬(strict triangular), 혹은 삼각행렬의 모양에 따라 순하삼각행렬, 순상삼각행렬로 부른다.

성질[편집]

  • 상삼각행렬이면서 하삼각행렬인 행렬은 대각행렬이다.
  • 삼각행렬이면서 정규행렬인 행렬은 대각행렬이다.
  • 상삼각행렬은 덧셈, 곱셈, 역행렬에 대해 닫혀 있다. 즉, 상삼각행렬간의 덧셈, 곱셈, 역행렬 연산을 통해 나오는 행렬은 상삼각행렬이다. 이 성질은 하삼각행렬에 대해서도 성립한다.
    • 단, 순삼각행렬 등과 같이 행렬식이 0 의 값을 가질 경우 역행렬이 존재하지 않으므로, 역행렬에 대해 닫혀있기 위해서는 삼각행렬이 가역행렬이어야 한다는 추가 조건이 있다.
  • 삼각행렬의 행렬식은 대각항들의 곱과 같다.
  • 대각행렬사다리꼴행렬은 삼각행렬의 특수한 형태이다.

[편집]

  • (순)상삼각행렬(식)[2]
  • (순)하삼각행렬(식)
  • 삼각행렬 에 대해서 도 역시 삼각행렬이기 때문에, 고유행렬식 은 대각항들을 근으로 가진다. 따라서 고윳값은 각 대각항이 된다.

전진 대입과 후진 대입[편집]

행렬 방정식 또는 의 형태에서 각각 하삼각행렬에 대한 전진대입( forward substitution) 및 상 삼각행렬에대한 후진대입(back substitution)이라고하는 반복적 프로세스로 해결하기가 용이하다. 우선 소위 하삼각행렬의 경우의 프로세스는 을 첫번째 계산으로 해서 다음 방정식으로 대입하여 , ~까지 반복한다. 상삼각행렬에서는 역으로 작동하는데 , 첫번째 계산은 , 그런 다음 이를 이전 방정식으로 대입하여 , 반복하여 에 이른다.

행렬을 뒤집는것은 아니다.

  • 전진대입

행렬 방정식 L x = b 는 선형 방정식의 시스템(연립)으로 쓸 수 있다

여기서 는 첫 번째 방정식 () 에만 관련된다. 이어서 두 번째 방정식은 에 관련된다. 따라서 이미 해결 된 값으로 대입하여 풀수있게된다. 계속해서 마지막의 직전은 이전에 접근한 값 이다. 그리고 맨 마지막 번째 방정식은 이다.

이러한 결과 수식은 다음과 같다.

이고,
이고,
이고,
정리하면,
계속해서 ,
일반화하면
  • 후진대입
상삼각행렬 U 를 갖는 행렬 방정식은 역방향에서 같은 방식으로 적용하여 접근할 수 있다.

함께보기[편집]

참고[편집]

참고 문헌[편집]