삼각행렬

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선형대수학에서, 삼각행렬(三角行列, 영어: triangular matrix)은 정사각행렬의 특수한 경우로, 주대각선을 기준으로 대각항의 위쪽이나 아래쪽 항들의 값이 모두 0인 경우를 의미한다.

주대각선

다음과 같은 모양을 가지는 행렬 하삼각행렬(lower triangular matrix)로 정의한다.

다음과 같은 모양을 가지는 행렬 상삼각행렬(upper triangular matrix)로 정의한다.

만약 삼각행렬의 대각항이 모두 0인 경우는 순삼각행렬(strict triangular), 혹은 삼각행렬의 모양에 따라 순하삼각행렬, 순상삼각행렬로 부른다.

성질[편집]

  • 상삼각행렬이면서 하삼각행렬인 행렬은 대각행렬이다.
  • 삼각행렬이면서 정규행렬인 행렬은 대각행렬이다.
  • 상삼각행렬은 덧셈, 곱셈, 역행렬에 대해 닫혀 있다. 즉, 상삼각행렬간의 덧셈, 곱셈, 역행렬 연산을 통해 나오는 행렬은 상삼각행렬이다. 이 성질은 하삼각행렬에 대해서도 성립한다.
    • 단, 순삼각행렬 등과 같이 행렬식이 0 의 값을 가질 경우 역행렬이 존재하지 않으므로, 역행렬에 대해 닫혀있기 위해서는 삼각행렬이 가역행렬이어야 한다는 추가 조건이 있다.
  • 삼각행렬의 행렬식은 대각항들의 곱과 같다.

예) 순상삼각행렬식[1]

예) 순하삼각행렬식

  • 삼각행렬 에 대해서 도 역시 삼각행렬이기 때문에, 고유행렬식 은 대각항들을 근으로 가진다. 따라서 고윳값은 각 대각항이 된다.

각주[편집]