체비쇼프 다항식

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수학에서, 체비쇼프 다항식(영어: Chebyshev polynomial)은 삼각 함수의 항등식에 등장하는 직교 다항식열이다.

정의[편집]

체비쇼프 다항식 T_n (n = 0, 1, 2, 3, ...)은 다음과 같은 항등식에 의하여 정의된다.

T_n(\cos\theta)=\cos(n\theta)

\scriptstyle \cos{nx}\scriptstyle \cos{x}n차 다항식으로 표현된다는 것은 드무아브르의 공식의 실수부를 비교하여 쉽게 알 수 있다. 식의 한 쪽은 실수부(實數部 ; real part)가 \scriptstyle \cos{nx}뿐이고, 다른 한 쪽의 실수부는, \scriptstyle \cos{x}\scriptstyle \sin{x}의 다항식으로 특히 \scriptstyle \sin{x}는 모두 짝수차이다.

성질[편집]

체비쇼프 다항식들은 다음의 무게 함수에 대해, 구간 [-1,1]에서 직교한다.

\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}

즉, 다음이 성립한다.

\int_{-1}^1 T_n(x)T_m(x)\,\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=0\quad\mbox{if}\ n\neq m

역사[편집]

파프누티 체비쇼프가 도입하였다.

바깥 고리[편집]