체비쇼프 다항식

수학에서 체비쇼프 다항식(Чебышёв多項式, 영어: Chebyshev polynomial)은 삼각 함수의 항등식에 등장하는 직교 다항식열이다.

정의

(실수 $n$차 일계수 다항식의 집합을 $\mathrm {Mon} (n;\mathbb {R} )$로 적자.)

실수 $n$차 다항식 $\operatorname {T} _{n}\in \mathbb {R} [x]$에 대하여, 다음 네 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $\operatorname {T} _{n}$을 $n$차 체비쇼프 다항식이라고 한다.

• (재귀적 정의) $\operatorname {T} _{n}(x)=2x\operatorname {T} _{n-1}(x)-\operatorname {T} _{n-2}(x)$이며, $\operatorname {T} _{0}(x)=1$이며, $\operatorname {T} _{1}(x)=x$이다.
• (삼각 함수 정의) 항등식 $\operatorname {T} _{n}(\cos \theta )=\cos n\theta$가 성립한다.
• $\operatorname {T} _{n}$은 $(-1,1)$에서 서로 다른 $n$개 실근을 가지며, $[-1,1]$에서 절댓값이 서로 같은 $n+1$개 극값을 갖는다.
• (최소 상한 노름)${\frac {1}{2^{n-1}}}\max _{x\in [-1,1]}|\operatorname {T} _{n}(x)|=\min _{f\in \mathrm {Mon} (n;\mathbb {R} )}\max _{x\in [-1,1]}|f(x)|$

드무아브르의 공식의 실수부를 비교하면 $\cos nx$가 $\cos x$의 $n$차 다항식으로 표현된다는 것을 알 수 있다. 좌변의 실수부는 $\cos nx$, 우변의 실수부는, $\cos x$와 $\sin ^{2}x$의 다항식이다.

성질

직교성

체비쇼프 다항식들은 다음의 무게 함수에 대해, 구간 $[-1,1]$에서 직교한다.

${\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$

즉, 다음이 성립한다.

$\int _{-1}^{1}\operatorname {T} _{n}(x)\operatorname {T} _{m}(x)\,{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{2}}}}=0\qquad (n\neq m)$

대칭

짝수 차수의 체비쇼프 다항식은 짝함수이며, 홀수 차수의 체비쇼프 다항식은 홀함수이다.

$\operatorname {T} _{n}(-x)=(-1)^{n}\operatorname {T} _{n}(x)$

근

$n$차 체비쇼프 다항식 $\operatorname {T} _{n}$은 닫힌구간 $[-1,1]$ 속에서 $n$개의 서로 다른 근을 가지며, 이들은 다음과 같다.

$x_{k}=\cos {\frac {(2k-1)\pi }{2n}}\qquad (k\in \{1,2,\dotsc ,n\})$

분지점

체비쇼프 다항식을 복소수 함수

$\operatorname {T} _{n}\colon \mathbb {CP} ^{1}\to \mathbb {CP} ^{1}$

로 여길 때, $n>0$의 경우 다음이 성립한다.

• 분지점에서의 값들은 모두 $\pm 1$ 또는 ${\widehat {\infty }}$이다.
• 값이 $\pm 1$인 분지점들의 경우, 분지 지표는 항상 2이다. (다시 말해, 데생당팡에서 모든 꼭짓점의 차수는 2이다.)
• ${\widehat {\infty }}$의 원상은 하나 밖에 없다. (다시 말해, 데생당팡은 나무이다.)

예를 들어,

$\operatorname {T} _{2}(x)=2x^{2}-1=2(x-1)(x+1)+1$

의 경우, 이는 분지 지표 2의 두 분지점 $x\in \{0,{\widehat {\infty }}\}$를 가지며, 그 값은 $\operatorname {T} _{2}(0)=-1$ 및 $\operatorname {T} _{2}({\widehat {\infty }})={\widehat {\infty }}$이다. 마찬가지로,

$\operatorname {T} _{3}(x)=4x^{3}-3x=(x-1)(2x+1)^{2}+1=(x+1)(2x-1)^{2}-1$

의 경우, 분지 지표 2의 두 분지점 $x\in \{-1/2,1/2\}$ 및 분지 지표 3의 분지점 $x={\widehat {\infty }}$를 가지며, 그 값은 각각 $\operatorname {T} _{3}(\pm 1/2)=\mp 1$ 및 $\operatorname {T} _{3}({\widehat {\infty }})={\widehat {\infty }}$이다.

이에 따라, $\operatorname {T} _{n}\colon \mathbb {CP} ^{1}\to \mathbb {CP} ^{1}$는 벨리 사상을 이루며, 이에 대응하는 데생당팡은 $n+1$개의 꼭짓점을 갖는 선형 그래프이다.

예

낮은 차수의 체비쇼프 다항식들은 다음과 같다. (OEIS의 수열 A28297)

${\begin{aligned}\operatorname {T} _{0}(x)&=1\\\operatorname {T} _{1}(x)&=x\\\operatorname {T} _{2}(x)&=2x^{2}-1\\\operatorname {T} _{3}(x)&=4x^{3}-3x\\\operatorname {T} _{4}(x)&=8x^{4}-8x^{2}+1\\\operatorname {T} _{5}(x)&=16x^{5}-20x^{3}+5x\\\operatorname {T} _{6}(x)&=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1\\\operatorname {T} _{7}(x)&=64x^{7}-112x^{5}+56x^{3}-7x\\\operatorname {T} _{8}(x)&=128x^{8}-256x^{6}+160x^{4}-32x^{2}+1\\\operatorname {T} _{9}(x)&=256x^{9}-576x^{7}+432x^{5}-120x^{3}+9x\\\operatorname {T} _{10}(x)&=512x^{10}-1280x^{8}+1120x^{6}-400x^{4}+50x^{2}-1\\\operatorname {T} _{11}(x)&=1024x^{11}-2816x^{9}+2816x^{7}-1232x^{5}+220x^{3}-11x\end{aligned}}$

역사

파프누티 체비쇼프가 1854년에 도입하였다.

체비쇼프 다항식의 통상적인 기호 T_n는 체비쇼프의 이름의 프랑스어 표기 (프랑스어: Tchebycheff) 또는 독일어 표기 (독일어: Tschebyschow)에서 딴 것이다.

같이 보기

• 르장드르 다항식
• 라게르 다항식
• 에르미트 다항식

외부 링크

• 위키미디어 공용에 체비쇼프 다항식 관련 미디어 분류가 있습니다.
• “Chebyshev polynomials”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Chebyshev polynomials of the first kind”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Chebyshev polynomials of the second kind”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Chebyshev approximation formula”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• 이철희. “체비셰프 다항식”. 《수학노트》. 
• Sarra, Scott A. (2005년 3월 1일). “Chebyshev Interpolation: an interactive tour” (영어). 2017년 3월 18일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 4월 19일에 확인함. 
• “Is there an intuitive explanation for an extremal property of Chebyshev polynomials?” (영어). Math Overflow. 2017년 4월 20일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2017년 4월 19일에 확인함.