체비쇼프 다항식

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수학에서, 체비쇼프 다항식(Чебышёв多項式, 영어: Chebyshev polynomial)은 삼각 함수의 항등식에 등장하는 직교 다항식열이다.[1][2]

정의[편집]

(실수 일계수 다항식의 집합을 로 적자.)

실수 다항식 에 대하여, 다음 네 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 체비쇼프 다항식이라고 한다.

  • (재귀적 정의) 이며, 이며, 이다.
  • (삼각 함수 정의) 항등식 가 성립한다.
  • 에서 서로 다른 실근을 가지며, 에서 절댓값이 서로 같은 극값을 갖는다.
  • (최소 상한 노름)

드무아브르의 공식의 실수부를 비교하면 차 다항식으로 표현된다는 것을 알 수 있다. 좌변의 실수부는 , 우변의 실수부는, 의 다항식이다.

성질[편집]

직교성[편집]

체비쇼프 다항식들은 다음의 무게 함수에 대해, 구간 에서 직교한다.

즉, 다음이 성립한다.

대칭[편집]

짝수 차수의 체비쇼프 다항식은 짝함수이며, 홀수 차수의 체비쇼프 다항식은 홀함수이다.

[편집]

차 체비쇼프 다항식 닫힌구간 속에서 개의 서로 다른 근을 가지며, 이들은 다음과 같다.

분지점[편집]

체비쇼프 다항식을 복소수 함수

로 여길 때, 의 경우 다음이 성립한다.

  • 분지점에서의 값들은 모두 또는 이다.
  • 값이 인 분지점들의 경우, 분지 지표는 항상 2이다. (다시 말해, 데생당팡에서 모든 꼭짓점의 차수는 2이다.)
  • 의 원상은 하나 밖에 없다. (다시 말해, 데생당팡은 나무이다.)

예를 들어,

의 경우, 이는 분지 지표 2의 두 분지점 를 가지며, 그 값은 이다. 마찬가지로,

의 경우, 분지 지표 2의 두 분지점 및 분지 지표 3의 분지점 를 가지며, 그 값은 각각 이다.

이에 따라, 벨리 사상을 이루며, 이에 대응하는 데생당팡개의 꼭짓점을 갖는 선형 그래프이다.

Chebyshev-dessins.svg

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낮은 차수의 체비쇼프 다항식들은 다음과 같다. (OEIS의 수열 A28297)

역사[편집]

파프누티 체비쇼프가 1854년에 도입하였다.[3]

체비쇼프 다항식의 통상적인 기호 Tn는 체비쇼프의 이름의 프랑스어 표기 (프랑스어: Tchebycheff) 또는 독일어 표기 (독일어: Tschebyschow)에서 딴 것이다.

참고 문헌[편집]

  1. Rivlin, Theodore J. (1990). 《The Chebyshev polynomials: from approximation theory to algebra and number theory》. Tracts in Pure and Applied Mathematics (영어) 2판. Wiley-Interscience. ISBN 978-047162896-5. 
  2. Mason, J. C.; Handscomb, D. C. (2002년 9월 17일). 《Chebyshev polynomials》 (영어). Chapman and Hall/CRC. doi:10.1201/9781420036114. ISBN 978-0-8493-0355-5. 
  3. Chebyshev, P. L. (1854). “Théorie des mécanismes connus sous le nom de parallélogrammes”. 《Mémoires des Savants étrangers présentés à l’Académie de Saint-Pétersbourg》 (프랑스어) 7: 539–586. 

바깥 고리[편집]