체비쇼프 다항식

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수학에서, 체비쇼프 다항식(영어: Chebyshev polynomial)은 삼각 함수의 항등식에 등장하는 직교 다항식열이다.

정의[편집]

(실수 일계수 다항식의 집합을 로 적자.)

실수 다항식 에 대하여, 다음 네 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 체비쇼프 다항식이라고 한다.

  • (재귀적 정의) 이며, 이며, 이다.
  • (삼각 함수 정의) 항등식 가 성립한다.
  • 에서 서로 다른 실근을 가지며, 에서 절댓값이 서로 같은 극값을 갖는다.
  • (최소 상한 노름)

드무아브르의 공식의 실수부를 비교하면 차 다항식으로 표현된다는 것을 알 수 있다. 좌변의 실수부는 , 우변의 실수부는, 의 다항식이다.

성질[편집]

체비쇼프 다항식들은 다음의 무게 함수에 대해, 구간 에서 직교한다.

즉, 다음이 성립한다.

역사[편집]

파프누티 체비쇼프가 도입하였다.

바깥 고리[편집]