닮음

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비슷한 도형에 대해 같은 색이 칠해져 있다.

수학에서 닮음(영어: Similarity)이란 어떤 두 도형이 있을때, 두 도형은 크기에 관계 없이 모양이 같을때를 말한다. 즉, 닮음은 두 도형의 모양과 크기가 같아야 하는 합동의 경우를 포함하며, 두 도형의 크기가 달라도 모양이 같은 경우까지 포함한다.

닮음은 두 닮은 삼각형의 관계를 이용해서 모르는 변의 길이를 구하는데 매우 유용하다. 그 이유는 닮음인 두 도형의 대응변의 가 각각 같으므로 비례식을 이용해서 식을 세울 수 있는데, 삼각형은 도형중에서 변의 개수가 제일 적은 다각형이므로 다른 다각형들과 달리 비례식을 매우 간단히 세울 수 있다.

참고로, 모든 은 서로 닮음이고, 모든 정다각형, 정다면체도 서로 닮음이다.

삼각형의 닮음[편집]

삼각형 ABC와 삼각형 DEF가 닮음일 때, 다음과 같은 기호로 표기한다.

조건은 다음과 같다.

SSS(변-변-변): 세 변의 길이의 비가 서로 같으면 두 삼각형은 닮음이다.
SAS(변-각-변): 두 변의 길이의 비와 끼인각의 크기가 서로 같으면 두 삼각형은 닮음이다.
AA(각-각): 두 각의 크기가 서로 같으면 두 삼각형은 닮음이다.

증명은 다음과 같이 할 수 있다.

SSS 닮음

변의 비율을 a라고 하면 변의 비율이 a인 닮은 삼각형을 그릴 수 있고 이 삼각형은 SSS 합동조건에 의해 합동이 되므로 닮음이다.

SAS 닮음

변의 비율을 a라고 하고 각을 b라고 하면 변의 비율이 a이고 각이 b인 닮은 삼각형을 그릴 수 있고 이 삼각형은 SAS 합동조건에 의해 합동이 되므로 닮음이다.

AA 닮음

각을 a,b라고 하고 두 각을 사이로 두는 변의 비율을 c라고 하면 각이 a,b이고 변의 비율이 c인 닮은 삼각형을 그릴 수 있고 이 삼각형은 ASA 합동조건에 의해 합동이 되므로 닮음이다.

삼각형의 합동조건과 닮음조건은 다르다

닮음비[편집]

닮음비(ratio similarity) 도형

두 도형이 서로 닮음일 때, 대응하는 선분의 길이 비율을 닮음비라 한다.

예를 들어, 서로 닮음인 두 삼각형 ABCDEF가 있을 때,

삼각형 ABC의 각 변 길이가 서로 대응하는 삼각형 DEF의 각 변 길이보다 두 배 길다고 하면 ABCDEF의 닮음비는 2:1이 된다.

닮음비가 1:1이 되는 도형은 합동이다.


종이크기 841mm*1189mm
를 닮음비( ratio of similarity )의 상수라고 할때,

닮음비의 정의는 "자기자신과 그리고 자기자신과 똑같은 크기의 합은 자기자신과 똑같은 비율의 전체가 된다."이다. 이것은 자기 동형 사상의 일종이다.

이다.

이러한 도형의 닮음비는 종이크기에 대한 국제표준(ISO)으로 사용된다.

, ISO 종이 크기는 2의 제곱근( )의 단일 가로세로비, 곧, 1:1.4142에 기반한다.

같이 보기[편집]