과잉수

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수론에서 과잉수(過剩數)는 자연수 중에서 자기 자신을 제외한 양의 약수를 모두 더했을 때 자기 자신보다 더 커지는 수이다. 예를 들어, 20의 진약수의 합은 1+2+4+5+10=22>20으로 원래의 수 20보다 더 크기 때문에 20은 과잉수가 된다. 과잉수는 무수히 많이 있으며 가장 작은 과잉수는 12이다. 특이하게도 이는 반완전수운명수로 분류할 수 있다고 한다.

과잉수를 작은 것부터 나열하면

12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, ...

이다(OEIS의 수열 A005101).

특징[편집]

  • 홀수 과잉수 중 가장 작은 수는 945이다. 과잉수의 배수는 언제나 과잉수이므로 짝수 과잉수도 홀수 과잉수도 무수히 많이 있다. 진약수의 일부를 더해서 자기자신이 될 수 있으면 반완전수(samiperfect nunber)이고, 그렇지 못하면 운명수(wired number)가 된다. 945는 가장 작은 홀수 반완전수이기도 하다.
  • 자연수 중 과잉수의 점근 밀도(Asymptotic Density)는 평균 0.2474에서 0.2480 사이로 알려져 있으므로 아무리 많아도 26%를 넘지 않는다. 하지만 6을 제외한 6의 배수는 모두 과잉수이므로 모두 18% 초과의 비율이라는 것을 알 수 있다.
  • 20161보다 큰 모든 정수는 2개의 과잉수의 합으로 표현될 수 있다. (2개의 과잉수의 합으로 표현되지 않는 자연수는 모두 1456개이다.)
  • 어떤 수의 진약수의 합이 그 어떤 수보다 1만큼 커지는 과잉수를 준완전수라고 한다. 이 준완전수는 지금까지 하나도 발견되지 않았다. 또한 준완전수가 존재하지 않는다는 명제도 아직까지 증명되지 않았다.(사이먼 싱 저 페르마의 마지막 정리 한국어 번역본 33쪽) 간혹, 어떤 자연수의 진약수의 합이 자기 자신과 비슷할 경우 그 자연수를 준완전수라고 칭하기도 한다.
  • 과잉수는 모두 합성수이며, 모든 소수는 진약수가 1 밖에 없어서 부족수이고, 1도 진약수가 없기 때문에 부족수이다. 드러나 합성수인 부족수도 있으며, 약수가 n×m인 (서로 같은 소수예도 상관없다) 과잉수는 개수가 한정되어 있다. ㅌ 그래도 약수가 세 개 이상의 소수를 곱해져서 만들 수 있는 자연수 만큼이면 무수히 많이 있다.

같이 보기[편집]