산술의 기본 정리

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산술의 기본 정리(算術- 基本定理, fundamental theorem of arithmetic)는 "1보다 큰 모든 양의 정수는 유한한 개수의 소수의 곱으로 곱의 순서를 바꾸는 것을 제외하면 유일하게 표현된다"는 명제를 가리킨다.

즉, 임의의 양의 정수 n에 대해 다음과 같은 식

n = p_1^{r_1} p_2^{r_2} \cdots p_k^{r_k}

을 만족하는 소수 p_1 \cdots p_k와 정수 r_1 \cdots r_k의 쌍이 순서가 바뀌는 것을 같은 것으로 볼 때, 유일하게 존재한다.

소인수분해의 유일성 정리라고도 한다.

이 정리에 의해서 정수집합은 정역(integral domain) 중에서 유일분해정역(unique factorization domain)으로 분류할 수 있게 된다.

증명[편집]

이 정리의 증명은 다음과 같은 두 단계로 나뉜다.

1 단계[편집]

첫 번째로 1보다 큰 양의 정수가 소수의 곱으로 표현할 수 있음을 증명한다. 1보다 큰 양의 정수 n의 두 번째로 작은 약수는 반드시 소수여야한다.(첫 번째로 작은 약수는 1이다.) 만약 m이 두 번째로 작은 약수이고, 소수가 아니라고 한다면, 소수의 정의에 의해서  1<l<m 이면서 m을 나누는 양의정수 l이 존재하게되고, 따라서 ln도 나눌수있기 때문에, m이 두 번째로 작은 약수라는 가정에 모순이 생긴다. 따라서 n은 반드시 소수인 약수를 갖게 된다. 또한 다음과 같이 표현할 수 있다.

 n=p_1n_1

만약,n_1이 소수라면, 증명은 여기서 종료된다. 하지만, n_1가 소수가 아니라면,  n_1 역시 1을 제외한 약수중에 가장 작은 약수를 소수로 갖기 때문에 다음과 같이 표현할 수 있다.

 n=p_1p_2n_2

이를 소수만 남을때까지 반복 할 수 있기 때문에, 따라서, 1보다 큰 모든 양의 정수는, 소수의 곱으로 표현 가능하다.

2 단계[편집]

두 번째로, 그렇게 표현한 소수의 곱이 (각 인수들의 자리바꿈을 제외한다면,) 유일함을 증명한다. 만약, 소수의 곱이 유일하지 않은 1보다큰 양의 정수가 있다고 가정해보자. 그 수 중에서 제일 작은 수를 n 이라고 한다면,

n=p_1p_2p_3...p_k=q_1q_2q_3...q_l, (p_1 \le p_2 \le p_3 \le ... \le p_k, q_1 \le q_2 \le q_3 \le ... \le q_l, p_i,q_j는 소수, p_i \ne q_j)

(p_i=q_j이면,  n>\frac{n}{p_i} 역시 소수의 곱이 유일하지 않다.)

한편 p_1^2 \le n, q_1^2 \le n이고 p_1^2q_1^2은 동시에 n이 될 수 없으므로, 0<p_1q_1<n

N=n-p_1q_1 이라고 한다면, 0<N<n 이고, 또한 p_1|N, q_1|N 이기 때문에, N의 유일한 소인수분해의 표현에는 p_1q_1가 동시에 존재하여야 한다.

따라서, p_1q_1|N이므로 N=p_1q_1S (S는 양의정수)

n=N+p_1q_1=p_1q_1(S+1)

양변을 p_1으로 나누면

\frac{n}{p_1}=q_1(S+1)

p_2p_3p_4...p_k=q_1(S+1), 즉 q_1|p_2p_3p_4...p_k

그러나 \frac{n}{p_1}n 보다 작기 때문에 소인수분해가 유일하고 ,q_1 \ne p_i이면서, 동시에 q_1은 소수이므로, 소수의 곱이 유일하지 않는 양의 정수가 있다는 가정은 모순이다.

같이 보기[편집]