산술의 기본 정리

산술의 기본 정리(算術의基本定理, 영어: fundamental theorem of arithmetic)는 모든 양의 정수는 유일한 소인수 분해를 갖는다는 정리이다.

정의

소수의 집합을 $\mathbb {P} \subset \mathbb {Z} ^{+}$ 라고 하자. 산술의 기본 정리에 따르면, 임의의 양의 정수 $n\in \mathbb {Z} ^{+}$ 에 대하여, 곱하여 $n$ 이 되는 소수의 유한 중복집합이 유일하게 존재한다. 즉, 다음 성질을 만족시키는 $p_{1},\dots ,p_{k}\subset \mathbb {P}$ 및 $r_{1},\dots ,r_{k}\in \mathbb {Z} ^{+}$ 가 존재하며, 이는 $i=1,\dots ,k$ 의 순열을 무시하면 유일하다.

n=p_{1}^{r_{1}}p_{2}^{r_{2}}\cdots p_{k}^{r_{k}}

만약 $n=1$ 인 경우, $k=0$ 이며, 이 소수 중복집합은 공집합이 된다.

추상대수학의 용어를 사용하면, 이는 정수의 환 $\mathbb {Z}$ 가 유일 인수 분해 정역이라는 명제와 동치이다.

증명

이 정리의 증명은 다음과 같은 두 단계로 나뉜다.

1 단계

첫 번째로 1보다 큰 양의 정수가 소수의 곱으로 표현할 수 있음을 증명한다. 1보다 큰 양의 정수 $n$ 의 두 번째로 작은 약수는 반드시 소수여야한다.(첫 번째로 작은 약수는 1이다.) 만약 $m$ 이 두 번째로 작은 약수이고, 소수가 아니라고 한다면 (즉 합성수라면), 합성수의 정의에 의해서 $1<l<m$ 이면서 $m$ 을 나누는 양의 정수 $l$ 이 존재하게 되고, 따라서 $l$ 은 $n$ 도 나눌 수 있기 때문에, $m$ 이 두 번째로 작은 약수라는 가정에 모순이 생긴다. 따라서 $n$ 은 반드시 소수인 약수를 갖게 되며 이를 다음과 같이 표현할 수 있다.

$n=p_{1}n_{1}$

만약, $n_{1}$ 이 소수라면, 증명은 여기서 종료된다. 하지만, $n_{1}$ 가 소수가 아니라면, $n_{1}$ 역시 1을 제외한 약수 중에 가장 작은 약수를 소수로 갖기 때문에 다음과 같이 표현할 수 있다.

$n=p_{1}p_{2}n_{2}$

이를 소수만 남을때까지 반복 할 수 있기 때문에, 따라서, 1보다 큰 모든 양의 정수는, 소수의 곱으로 표현 가능하다.

2 단계

두 번째로, 그렇게 표현한 소수의 곱이 (각 인수들의 자리바꿈을 제외한다면) 유일함을 귀류법으로 증명한다. 만약, 소수의 곱이 유일하지 않은 1보다 큰 양의 정수가 있다고 가정해 보자. 그 수 중에서 제일 작은 수를 n 이라고 한다면,

$n=p_{1}p_{2}p_{3}...p_{k}=q_{1}q_{2}q_{3}...q_{l},$ ( $p_{1}\leq p_{2}\leq p_{3}\leq ...\leq p_{k},q_{1}\leq q_{2}\leq q_{3}\leq ...\leq q_{l}$ 이고, $p_{i}$ 와 $q_{j}$ 는 소수, 그리고 $p_{i}\neq q_{j}$ )