점근 밀도

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정수론에서 점근 밀도(Asymptotic Density 또는 Natural density 또는 arithmetic density)란, 자연수의 부분집합이 얼마나 큰지를 측정하는 척도이다.

직관적으로 완전 제곱수보다는 자연수가 "더 많다". 두 집합은 물론 일대일 대응을 통해 무한하고 가산(countable)임을 확인할 수 있으므로 실제로 더 큰 것은 아니다. 그러나 이러한 직관적 관찰을 좀 엄밀히 만들 필요가 있다.

정의[편집]

자연수의 부분집합 A가 주어져 있을 때, A의 원소 중, n 이하의 값들의 개수를 a(n) 라고 하면, n이 무한대로 갈 때, 극한값

\lim_{n\to \infty} \frac{a(n)}{n} = \alpha

이 존재하면 점근밀도 \alpha를 갖는다고 말한다.

위쪽 및 아래쪽의 점근 밀도[편집]

위에서 쓰인 기호를 토대로 위쪽 점근 밀도(upper asymptotic density)를 다음과 같이 정의할 수 있다.

 \overline{d}(A) = \limsup_{n \rightarrow \infty} \frac{| A(n)|}{n}

이때 lim sup은 상극한(limit superior)이다.

마찬가지로 아래쪽 점근 밀도(lower asymptotic density)를 다음과 같이 정의할 수 있다.

 \underline{d}(A) = \liminf_{n \rightarrow \infty} \frac{ | A(n)| }{n}

만약 이 두 극한이 일치한다면, 즉 \underline{d}(A)=\overline{d}(A) 이라면, 이 값을 점근 밀도 d(A)라고 부를 수 있다.

[편집]

  • 어떤 집합 A에서 점근 밀도 d(A)가 존재한다면 그 여집합의 점근 밀도는 1- d(A)가 된다.
  • 당연히 d(\mathbb{N})= 1이다.
  • 임의의 유한집합 F에 대해서 d(F)=0이다.
  • 완전 제곱수의 점근 밀도는 영이다.
  • 짝수 집합의 점근밀도는 1/2 이다. 마찬가지로 임의의 등차수열 A = \{an+b | n \in \mathbb{N}\}에 대해, d(A)=1/a임을 알 수 있다.
  • 소수 집합 P소수 정리에 의해 d(P)=0임을 알 수 있다.
  • 제곱수로 나누어지지 않는 수(Square-free integer)의 점근밀도는 \textstyle \frac{6}{\pi^2}이다.
  • 과잉수(abundant numbers)의 점근밀도는 0.2474와 0.2480 사이의 값을 갖는다고 알려져 있다.