상극한과 하극한

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수열의 상극한과 하극한. 파란 선은 수열 x_n이고, 두 빨간 곡선은 수열의 경계이며 x_n의 상극한과 하극한(검은 선)으로 수렴한다.

수학에서, 수열상극한(上極限, 영어: limit superior)과 하극한(下極限, 영어: limit inferior)은 간단히 말하면 일종의 수열의 경계의 극한이다. 함수의 상극한과 하극한도 이와 비슷하다. 집합극한점상한, 하한으로 생각할 수도 있다.

정의[편집]

수열[편집]

수열 (x_n)_{n\in\mathbb{N}}의 하극한의 정의는 다음과 같다.

\liminf_{n\to\infty}x_n=\varliminf_{n\to\infty}x_n:=\lim_{n\to\infty}\left(\inf_{m\ge n}x_m\right)=\sup_{n\ge 0}\left(\inf_{m\ge n}x_n\right)

마찬가지로 상극한의 정의는 다음과 같다.

\limsup_{n\to\infty}x_n=\varlimsup_{n\to\infty}x_n:=\lim_{n\to\infty}\left(\sup_{m\ge n}x_m\right)=\inf_{n\ge 0}\left(\sup_{m\ge n}x_n\right)

실수열의 경우 상극한과 하극한이 \mathbb{R}\cup\{-\infty ,+\infty\}(확장된 실수)에서 항상 존재한다. 임의의 완비 격자 위에서도 비슷한 결론이 성립한다.

집합[편집]

집합X\subseteq Y의 하극한과 상극한은 각각 X집적점들의 집합[1] X'의 하한, 상한이다.

\liminf X:=\inf X'
\limsup X:=\sup X'

위 정의가 의미를 가지려면 Y부분 순서 집합이자 위상 공간이어야 하며, 상, 하극한이 항상 존재하려면 동시에 완비 격자이어야 한다.

필터기저[편집]

실수열[편집]

성질[편집]

임의의 실수열 (x_n)은 아래 성질들을 만족한다.

  • 상극한과 하극한에 대해 다음과 같은 관계가 성립한다.
\liminf_{n\to\infty}x_n=-\limsup_{n\to\infty}(-x_n)
\inf_nx_n\le\liminf_{n\to\infty}x_n\le\limsup_{n\to\infty}(x_n)\le\sup_nx_n
  • 수열은 상, 하극한이 같으면 같은 값으로 수렴한다. 그 역도 성립한다.
\lim_{n\to\infty}x_n=x\in[-\infty,+\infty]\Leftrightarrow\liminf_{n\to\infty}x_n=\limsup_{n\to\infty}x_n=x\in[-\infty,+\infty]
  • 상극한보다 큰 임의의 수 \Lambda에 대하여 자연수 N이 존재해 임의의 n>N에 대해 x_n<\Lambda가 성립한다. 하극한도 비슷한 성질을 가진다.
  • 상극한보다 작은 임의의 수 \lambda, 그리고 임의의 자연수 N에 대하여 n이 존재해 x_n>\lambda가 성립한다. 하극한도 비슷한 성질을 가진다.
  • 임의의 수열 (a_n),(b_n)에 대해, 상극한은 준가법성, 하극한은 초가법성을 만족한다.
\limsup_{n\to\infty}(a_n+b_n)\le\limsup_{n\to\infty}(a_n)+\limsup_{n\to\infty}(b_n)
\liminf_{n\to\infty}(a_n+b_n)\ge\liminf_{n\to\infty}(a_n)+\liminf_{n\to\infty}(b_n)
물론 우변의 합이 정의되었다는 전제 하에 성립한다.
등식이 성립하는 조건은, 둘 중 하나가 수렴하는 것이다.

[편집]

  • 수열 x_n=\sin n에 대하여, π무리수이므로 다음이 성립한다.
\liminf_{n\to\infty}x_n=-1
\limsup_{n\to\infty}x_n=+1
이는 고른분포 정리에 의해 1,2,3,\ldots\,\bmod\,2\pi고른분포이기 때문이다.
\liminf_{n\to\infty}(p_{n+1}-p_n)=2
여기서 p_nn번째 소수이다.

실수값함수[편집]

구간에 정의된 실가 함수 f:I\to\mathbb{R}a\in I 대해, 상극한과 하극한은 다음과 같이 정의된 확장된 실수이다.

\liminf_{x\to a}f(x):=\sup_{\varepsilon>0}\inf f((a-\varepsilon,a+\varepsilon)\setminus\{a\})=\lim_{\varepsilon\to 0}\inf f((a-\varepsilon,a+\varepsilon)\setminus\{a\})
\limsup_{x\to a}f(x):=\inf_{\varepsilon>0}\sup f((a-\varepsilon,a+\varepsilon)\setminus\{a\})=\lim_{\varepsilon\to 0}\sup f((a-\varepsilon,a+\varepsilon)\setminus\{a\})

여기서 f((a-\varepsilon,a+\varepsilon)\setminus\{a\})f에 대한 (a-\varepsilon,a+\varepsilon)\setminus\{a\}이다. 빠진 근방이 I에 포함되도록 \varepsilon이 충분히 작아야 한다.

한쪽 상, 하극한은 한쪽극한과 비슷하게 정의된다.

\limsup_{x\to a+} f(x)=\inf_{\varepsilon>0}\sup f((a,a+\varepsilon))
\liminf_{x\to a+} f(x)=\sup_{\varepsilon>0}\inf f((a,a+\varepsilon))
\limsup_{x\to a-} f(x)=\inf_{\varepsilon>0}\sup f((a-\varepsilon,a))
\liminf_{x\to a-} f(x)=\sup_{\varepsilon>0}\inf f((a-\varepsilon,a))

실수열과 마찬가지로 함수의 상극한과 하극한은 [-\infty,+\infty]에서 항상 존재하며, 상, 하극한이 같은 것과 그 점에 극한이 존재하는 것이 동치이다.

함수의 상, 하극한의 예로, f(x)=\sin\frac1x에 대해 \liminf_{x\to 0}f(x)=-1, \limsup_{x\to 0}f(x)=1이다.

함수의 한 점에서의 진동 \omega_f(a)은 어떤 의미에서 함수의 진동 폭을 나타낸다.

\omega_f(a)=\limsup_{x\to a}f(x)-\liminf_{x\to a}f(x)

거리 공간[편집]

거리 공간 X,Y, X의 부분공간 E, 함수 f:E\to Y, E의 극한점 a 그리고 Y에 부여된 전순서에 대하여 아래와 같이 상, 하극한을 정의한다.

\limsup_{x\to a}f(x)=\inf_{\varepsilon>0}\sup f(E\cap B(a;\varepsilon)\setminus\{a\})=\lim_{\varepsilon\to 0}\sup f(E\cap B(a;\varepsilon)\setminus\{a\})
\liminf_{x\to a}f(x)=\sup_{\varepsilon>0}\inf f(E\cap B(a;\varepsilon)\setminus\{a\})=\lim_{\varepsilon\to 0}\inf f(E\cap B(a;\varepsilon)\setminus\{a\})

여기서 B(a;\varepsilon)a,\varepsilon을 각각 중심, 반지름으로 하는 이다.

앞서 취한 X,Y위상을 가진다면 공을 근방으로 대신할 수 있다.

\limsup_{x\to a}f(x)=\inf_{U\ \mathrm{open}}\sup f(E\cap U(a)\setminus\{a\})
\liminf_{x\to a}f(x)=\sup_{U\ \mathrm{open}}\inf f(E\cap U(a)\setminus\{a\})

이러한 정의는 반연속성을 논할 때 유용하다. 또한 이는 수열에 대한 정의를 포함한다.

집합열[편집]

집합 X멱집합 \wp(X)집합의 포함관계에 의한 부분순서를 가지며 완비 격자이다. 그러므로 \wp(X)에서의 집합열에 대해 상, 하극한을 정의할 수 있다.

각주[편집]

바깥 고리[편집]