상극한과 하극한

수열의 상극한과 하극한. 파란 선은 수열 $x_{n}$이고, 두 빨간 곡선은 수열의 경계이며 $x_{n}$의 상극한과 하극한(검은 선)으로 수렴한다.

수학에서, 수열의 상극한(上極限, 영어: limit superior)과 하극한(下極限, 영어: limit inferior)은 간단히 말하면 일종의 수열의 경계의 극한이다. 함수의 상극한과 하극한도 이와 비슷하다. 집합의 극한점의 상한·하한으로 생각할 수도 있다. 상극한의 기호는 $\limsup$ 또는 $\varlimsup$이며, 하극한의 기호는 $\liminf$ 또는 $\varliminf$이다.

정의

상극한과 하극한은 기본적으로 부분 순서를 갖춘 위상 공간 속의 점렬 및 그 일반화에 대하여 정의되는 개념이다. 위상수학에서, 점렬의 개념은 그물과 필터(또는 필터 기저)로 일반화된다. 필터는 집합족의 일종이며, 상극한·하극한의 개념은 임의의 집합족에 대하여 일반화된다.

또한, 임의의 함수 $f\colon X\to Y$ 및 임의의 점 $x_{0}\in X$가 주어졌을 때, $f$가 $x_{0}$의 근방에서 취하는 값들의 집합족을 정의할 수 있으며, 이를 통해 함수 $f$의, 특정한 점 $x_{0}\in X$에서의 상극한·하극한을 정의할 수 있다.

집합족

$Y$가 완비 격자라고 하자. $Y$ 속의 집합족 ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {P}}(Y)$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $Y$의 부분 집합

$\{\sup B\colon B\in {\mathcal {B}}\}$

$\{\inf B\colon B\in {\mathcal {B}}\}$

을 정의할 수 있다. 만약 ${\mathcal {B}}$가 하향 집합족라면 이들 역시 하향 집합이며, 만약 ${\mathcal {B}}$가 상집합이라면 이들 역시 상집합이다. 즉, 만약 ${\mathcal {B}}$가 필터라면 이들 역시 필터이다.

증명:

${\mathcal {B}}$가 하향 집합족이라고 하면, 임의의 $B_{1},B_{2}\in {\mathcal {B}}$에 대하여, $B_{3}\subseteq B_{1}\cap B_{2}$인 $B_{3}\in {\mathcal {B}}$가 존재한다. 그렇다면 $\sup B_{3}\leq \sup(B_{1}\cap B_{2})\leq (\sup B_{1})\land (\sup B_{2})$이다.

${\mathcal {B}}$가 상집합이며, 임의의 $B\in {\mathcal {B}}$ 및 $y\in Y$에 대하여, $\sup B\leq y$라고 하자. 그렇다면 $B\cup \{y\}\in {\mathcal {B}}$이며 $\sup(B\cup \{y\})=y$이다.

이제, $Y$에 추가로 하우스도르프 위상이 부여되었다고 하고, ${\mathcal {B}}$가 하향 집합족이라고 하자. 그렇다면,

$\sup \colon {\mathcal {B}}\to Y$

$\sup \colon (B\in {\mathcal {B}})\to \sup B$

는 그물을 이룬다. 만약 이 그물이 수렴한다면, ${\mathcal {B}}$의 상극한은 이 그물의 극한이다.

$\limsup {\mathcal {B}}=\lim _{B\to \bot }\sup B$

마찬가지로, ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {P}}(Y)$가 상향 집합족이라고 하자. 그렇다면,

$\inf \colon {\mathcal {B}}\to Y$

$\inf \colon (B\in {\mathcal {B}})\mapsto \inf B$

는 그물을 이룬다. 만약 이 그물이 수렴한다면, ${\mathcal {B}}$의 하극한은 이 그물의 극한이다.

$\liminf {\mathcal {B}}=\lim _{B\to \top }\inf B$

그물과 점렬

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 부분 순서가 주어진 위상 공간 $Y$
• 상향 원순서 집합 $(I,\lesssim )$
• $Y$ 위의 그물 $y\colon I\to Y$

그렇다면, 그물 $y$의 꼬리들의 필터 기저

$\operatorname {tail} (y)=\left\{\{y_{i}\colon i\leq i_{0}\}\colon i_{0}\in I\right\}$

를 생각하자. 그물 $y$의 상극한 및 하극한은 필터 기저 $\operatorname {tail} (y)$ (또는 이로부터 생성되는 필터)의 상극한·하극한이다.

$\limsup _{i\to \infty }y_{i}=\limsup \operatorname {tail} (y)$

$\liminf _{i\to \infty }y_{i}=\liminf \operatorname {tail} (y)$

특히, $Y$의 점렬 $y\colon \mathbb {N} \to Y$은 그물의 특수한 경우이므로, 그 상극한·하극한이 정의된다.

특히, $Y$가 순서 위상이 부여된 전순서 집합이며, 모든 상한과 하한이 존재한다고 하자 (예를 들어, 확장된 실수 $Y={\bar {\mathbb {R} }}=[-\infty ,\infty ]$). 그렇다면, 상극한·하극한의 정의는 다음과 같이 쓸 수 있다.

$\limsup _{i\to \infty }y_{i}=\lim _{i_{0}\to \infty }\sup _{i\geq i_{0}}y_{i}=\inf _{i_{0}\in I}\sup _{i\geq i_{0}}y_{i}$

$\liminf _{i\to \infty }y_{i}=\lim _{i_{0}\to \infty }\inf _{i\geq i_{0}}y_{i}=\sup _{i_{0}\in I}\inf _{i\geq i_{0}}y_{i}$

함수

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 부분 순서가 주어진 위상 공간 $Y$
• 위상 공간 $X$
• 함수 $f\colon X\to Y$
• 점 $x_{0}\in X$

그렇다면, 다음과 같은 집합족을 생각할 수 있다.

$B_{f,x_{0},U}=f(U\setminus \{x_{0}\})=\left\{f(x)\colon x\in U\setminus \{x_{0}\}\right\}$

${\mathcal {B}}_{f,x_{0}}=\left\{B_{f,U,x_{0}}\colon U\in {\mathcal {N}}_{X,x_{0}}\right\}$

여기서 ${\mathcal {N}}_{X,x_{0}}$는 $x_{0}\in X$의 근방 필터이다. 즉, $x_{0}$의 근방에서 $f$가 취하는 값들의 집합족이다. ${\mathcal {B}}_{f,x_{0}}$는 $Y$ 속의 필터를 이룬다.

$f$의 $x_{0}\in X$에서의 상극한 $\textstyle \limsup _{x\to x_{0}}f(x)$과 하극한 $\textstyle \liminf _{x\to x_{0}}f(x)$은 각각 필터 ${\mathcal {B}}_{f,x_{0}}$의 상극한과 하극한이다.

$\limsup _{x\to x_{0}}f(x)=\limsup {\mathcal {B}}_{f,x_{0}}$

$\liminf _{x\to x_{0}}f(x)=\liminf {\mathcal {B}}_{f,x_{0}}$

특히, 만약 $Y$가 순서 위상이 부여된 완비 전순서 집합이라고 하자 (예를 들어, 확장된 실수 $Y={\bar {\mathbb {R} }}=[-\infty ,\infty ]$). 그렇다면 이는 다음과 같이 쓸 수 있다.

$\limsup _{x\to x_{0}}f(x)=\inf _{U\in {\mathcal {N}}_{X,x_{0}}}\sup f\left(U\setminus \{x_{0}\}\right)$

$\limsup _{x\to x_{0}}f(x)=\sup _{U\in {\mathcal {N}}_{X,x_{0}}}\inf f\left(U\setminus \{x_{0}\}\right)$

성질

존재

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 순서 위상이 부여된 완비 전순서 집합 $(X,\leq )$
• 하향 원순서 집합 $(I,\lesssim )$
• 순서를 보존하는 그물 $x\colon I\to X$. 즉, 만약 $i,i'\in I$에 대하여 $i\lesssim i'$이라면 $x_{i}\leq x_{i'}$이다.

그렇다면, $x$는 $\{x_{i}\}_{i\in I}$의 하한으로 수렴한다.

$\lim _{i\to \bot }x_{i}=\inf _{i\in I}x_{i}$

증명:

편의상

$y=\inf _{i\in I}x_{i}$

로 표기하자. 임의의 $y_{-}<y<y_{+}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $y_{+}$는 (하한의 정의에 의하여) $\{x_{i}\}_{i\in I}$의 하계가 될 수 없으며, 따라서 $x_{i_{0}}<y$인 $i_{0}\in I$가 존재한다. 그렇다면, 임의의 $i\lesssim i_{0}$에 대하여 $y_{-}<x_{i}<y_{+}$이다.

따라서, 만약 $(X,\leq )$가 순서 위상이 부여된 완비 전순서 집합 $(X,\leq )$이라면, $X$ 위의 필터 기저 ${\mathcal {B}}$는 항상 상극한과 하극한을 가지며, 이들은 다음과 같다.

$\limsup {\mathcal {B}}=\inf _{B\in {\mathcal {B}}}\sup B$

$\liminf {\mathcal {B}}=\sup _{B\in {\mathcal {B}}}\inf B$

특히, 확장된 실수 ${\bar {\mathbb {R} }}=[-\infty ,\infty ]$는 완비 전순서 집합이므로, 이 속의 그물 및 수열은 항상 상극한과 하극한을 가진다.

극한과의 관계

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

• 순서 위상이 부여된 완비 전순서 집합 $(X,\leq )$
• 하향 원순서 집합 $(I,\lesssim )$
• 그물 $x\colon I\to X$
• 점 $x_{0}\in X$

그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $\textstyle \lim _{i\in I}=x_{0}$. 즉, $(x_{i})_{i\in I}$는 $x_{0}\in X$로 수렴한다.
• $x_{0}=\limsup _{i\in I}=\liminf _{i\in I}$이다.

상극한과 하극한의 관계

임의의 순서체 $(K,\leq )$ 속의 집합족 ${\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {P}}(K)$에 대하여 다음이 성립한다.

$-\liminf {\mathcal {B}}=\limsup(-{\mathcal {B}})$

$-{\mathcal {B}}=\{-B\colon B\in {\mathcal {B}}\}=\left\{\{-b\colon b\in B\}\colon B\in {\mathcal {B}}\right\}$

마찬가지로, 임의의 순서체 $(K,\leq )$ 위의 그물 $x\colon I\to K$에 대하여, 상극한과 하극한에 대해 다음과 같은 관계가 성립한다.

$-\liminf _{i\to \infty }x_{i}=-\limsup _{n\to \infty }(-x_{i})$

$\inf _{i\in I}x_{i}\leq \liminf _{i\to \infty }x_{i}\leq \limsup _{i\to \infty }(x_{i})\leq \sup _{i\in I}x_{i}$

마찬가지로, 임의의 위상 공간 $X$ 및 함수 $f\colon X\to K$ 및 점 $x_{0}\in X$에 대하여, 다음이 성립한다.

$-\liminf _{x\to x_{0}}f(x)=\limsup _{x\to x_{0}}(-f(x))$

$\inf _{x\in X}f(x)\leq \liminf f(x)\leq \limsup _{x\to x_{0}}f(x)\leq \sup _{x\in X}f(x)$

가법성

순서체 $(K,\leq )$ 속의 두 그물

$a,b\colon I\to K$

에 대하여, 만약 아래 부등식들의 우변이 존재한다면, 다음이 성립한다.

$\limsup _{i\in I}(a_{i}+b_{i})\leq \limsup _{i\in I}(a_{i})+\limsup _{i\in I}(b_{i})$

$\liminf _{i\in I}(a_{i}+b_{i})\geq \liminf _{i\in I}(a_{i})+\liminf _{i\in I}(b_{i})$

또한, 만약 $a$나 $b$가 수렴한다면, 위의 두 부등식은 등식이 된다.

예

수열 $x_{n}=\sin n$에 대하여, π가 무리수이므로 다음이 성립한다.

$\liminf _{n\to \infty }x_{n}=-1$

$\limsup _{n\to \infty }x_{n}=+1$

이는 균등 분포 정리에 의해 $1,2,3,\ldots \,{\bmod {\,}}2\pi$가 균등 분포이기 때문이다.

쌍둥이 소수 추측은 다음과 같은 내용을 담는다.

$\liminf _{n\to \infty }(p_{n+1}-p_{n})=2$

여기서 $p_{n}$은 $n$번째 소수이다.

함수

$f$의 그래프 (위상수학자의 사인 곡선)

위상수학자의 사인 곡선을 정의하는 함수

$f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$

$f\colon x\mapsto {\begin{cases}\sin(1/x)&x\neq 0\\0&x=0\end{cases}}$

를 생각하자. 그렇다면,

$\liminf _{x\to 0}f(x)=-1$

$\limsup _{x\to 0}f(x)=1$

이다. (사실, $f(0)$의 값은 어떻든 상관없다.)

참고 문헌

• Rudin, Walter (1976). 《Principles of mathematical analysis》 3판 (영어). International Series in Pure and Applied Mathematics. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054235-8. MR 0385023. Zbl 0346.26002. 2014년 10월 6일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 10월 6일에 확인함.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
• Rudin, Walter (1987). 《Real and Complex Analysis》 3판 (영어). McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054234-1. MR 0924157. Zbl 0925.00005. 2014년 10월 6일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 6월 27일에 확인함.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

외부 링크

• “Upper and lower limits” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Supremum limit” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Infimum limit” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research. 
• “Definition: limit superior” (영어). 《ProofWiki》. 
• “Definition: limit inferior” (영어). 《ProofWiki》. 
• “Definition: limit superior of a sequence of sets” (영어). 《ProofWiki》. 
• “Definition: limit inferior of a sequence of sets” (영어). 《ProofWiki》. 
• “Equivalence of definitions of limit superior of sequence of sets” (영어). 《ProofWiki》. 
• “Definition: lower limit (topological space)” (영어). 《ProofWiki》. 
• “Limsup and liminf are limits of bounds” (영어). 《ProofWiki》. 
• “Convergence of limsup and liminf” (영어). 《ProofWiki》. 
• “Limsup squeeze theorem” (영어). 《ProofWiki》. 
• “Relationship between limit inferior and lower limit” (영어).