상극한과 하극한

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수열의 상극한과 하극한. 파란 선은 수열 이고, 두 빨간 곡선은 수열의 경계이며 의 상극한과 하극한(검은 선)으로 수렴한다.

수학에서, 수열상극한(上極限, 영어: limit superior)과 하극한(下極限, 영어: limit inferior)은 간단히 말하면 일종의 수열의 경계의 극한이다. 함수의 상극한과 하극한도 이와 비슷하다. 집합극한점상한·하한으로 생각할 수도 있다. 상극한의 기호는 또는 이며, 하극한의 기호는 또는 이다.

정의[편집]

상극한과 하극한은 기본적으로 부분 순서를 갖춘 위상 공간 속의 점렬 및 그 일반화에 대하여 정의되는 개념이다. 위상수학에서, 점렬의 개념은 그물필터(또는 필터 기저)로 일반화된다. 필터집합족의 일종이며, 상극한·하극한의 개념은 임의의 집합족에 대하여 일반화된다.

또한, 임의의 함수 및 임의의 점 가 주어졌을 때, 근방에서 취하는 값들의 집합족을 정의할 수 있으며, 이를 통해 함수 의, 특정한 점 에서의 상극한·하극한을 정의할 수 있다.

집합족[편집]

완비 격자라고 하자. 속의 집합족 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 부분 집합

을 정의할 수 있다. 만약 하향 집합족라면 이들 역시 하향 집합족이며, 만약 상집합이라면 이들 역시 상집합이다. 즉, 만약 필터라면 이들 역시 필터이다.

증명:

하향 집합족이라고 하면, 임의의 에 대하여, 가 존재한다. 그렇다면 이다.

상집합이며, 임의의 에 대하여, 라고 하자. 그렇다면 이며 이다.

이제, 에 추가로 하우스도르프 위상이 부여되었다고 하고, 하향 집합족이라고 하자. 그렇다면,

그물을 이룬다. 만약 이 그물이 수렴한다면, 상극한은 이 그물의 극한이다.

마찬가지로, 상향 집합족이라고 하자. 그렇다면,

그물을 이룬다. 만약 이 그물이 수렴한다면, 하극한은 이 그물의 극한이다.

그물과 점렬[편집]

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

그렇다면, 그물 의 꼬리들의 필터 기저

를 생각하자. 그물 상극한하극한필터 기저 (또는 이로부터 생성되는 필터)의 상극한·하극한이다.

특히, 점렬 그물의 특수한 경우이므로, 그 상극한·하극한이 정의된다.

특히, 순서 위상이 부여된 전순서 집합이며, 모든 상한하한이 존재한다고 하자 (예를 들어, 확장된 실수 ). 그렇다면, 상극한·하극한의 정의는 다음과 같이 쓸 수 있다.

함수[편집]

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

그렇다면, 다음과 같은 집합족을 생각할 수 있다.

여기서 근방 필터이다. 즉, 근방에서 가 취하는 값들의 집합족이다. 속의 필터를 이룬다.

에서의 상극한 하극한 은 각각 필터 의 상극한과 하극한이다.

특히, 만약 순서 위상이 부여된 완비 전순서 집합이라고 하자 (예를 들어, 확장된 실수 ). 그렇다면 이는 다음과 같이 쓸 수 있다.

성질[편집]

존재[편집]

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

  • 순서 위상이 부여된 완비 전순서 집합
  • 하향 원순서 집합
  • 순서를 보존하는 그물 . 즉, 만약 에 대하여 이라면 이다.

그렇다면, 하한으로 수렴한다.

증명:

편의상

로 표기하자. 임의의 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 는 (하한의 정의에 의하여) 하계가 될 수 없으며, 따라서 가 존재한다. 그렇다면, 임의의 에 대하여 이다.

따라서, 만약 순서 위상이 부여된 완비 전순서 집합 이라면, 위의 필터 기저 는 항상 상극한과 하극한을 가지며, 이들은 다음과 같다.

특히, 확장된 실수 완비 전순서 집합이므로, 이 속의 그물 및 수열은 항상 상극한과 하극한을 가진다.

극한과의 관계[편집]

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • . 즉, 로 수렴한다.
  • 이다.

상극한과 하극한의 관계[편집]

임의의 순서체 속의 집합족 에 대하여 다음이 성립한다.

마찬가지로, 임의의 순서체 위의 그물 에 대하여, 상극한과 하극한에 대해 다음과 같은 관계가 성립한다.

마찬가지로, 임의의 위상 공간 및 함수 및 점 에 대하여, 다음이 성립한다.

가법성[편집]

순서체 속의 두 그물

에 대하여, 만약 아래 부등식들의 우변이 존재한다면, 다음이 성립한다.

또한, 만약 가 수렴한다면, 위의 두 부등식은 등식이 된다.

[편집]

수열 에 대하여, π무리수이므로 다음이 성립한다.

이는 균등 분포 정리에 의해 균등 분포이기 때문이다.

쌍둥이 소수 추측은 다음과 같은 내용을 담는다.

여기서 번째 소수이다.

함수[편집]

의 그래프 (위상수학자의 사인 곡선)

위상수학자의 사인 곡선을 정의하는 함수

를 생각하자. 그렇다면,

이다. (사실, 의 값은 어떻든 상관없다.)

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]