상향 원순서 집합

순서론에서 상향 원순서 집합(上向原順序集合, 영어: upward-directed preordered set)은 임의의 유한 부분 집합에 상계가 존재하는 원순서 집합이다. 마찬가지로, 하향 원순서 집합(下向原順序集合, 영어: downward-directed preordered set)은 임의의 유한 부분 집합에 하계가 존재하는 원순서 집합이다.

정의

임의의 원순서 집합 $(X,\lesssim )$은 항상 다음과 같이 작은 범주로 여길 수 있다.

• 대상은 $X$의 원소이다.
• $x,y\in X$가 주어졌을 때, 만약 $x\lesssim y$라면 유일한 사상 $(x,y)\colon x\to y$가 존재하며, 아니라면 그 사이에 사상이 존재하지 않는다.
• $x\in X$의 항등 사상은 $(x,x)$이다.
• 사상의 합성은 $(y,z)\circ (x,y)=(x,z)$이다.

원순서 집합 $(X,\lesssim )$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 원순서 집합을 상향 원순서 집합(上向原順序集合, 영어: upward-directed preordered set)이라고 한다.

• 작은 범주로 여겼을 때, 여과 범주를 이룬다.
• 임의의 유한 부분 집합 $\{x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\}\subseteq X$, $n\in \mathbb {N}$은 상계를 갖는다. 즉,
  • ($n=0$인 경우) 공집합이 아니다.
  • ($n=2$인 경우) 임의의 두 원소 $x_{1},x_{2}\in X$에 대하여, $x_{1}\lesssim y$이자 $x_{2}\lesssim y$인 $y\in X$가 적어도 하나 이상 존재한다.

둘째 조건에서, $n=1$인 경우는 자명하게 참이며, $n\geq 3$인 경우는 $n=2$인 경우를 재귀적으로 적용하여 유도된다.

마찬가지로, 원순서 집합 $(X,\lesssim )$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 원순서 집합을 하향 원순서 집합(下向原順序集合, 영어: downward-directed preordered set)이라고 한다.

• 작은 범주로 여겼을 때, 여과 범주의 반대 범주를 이룬다.
• 임의의 유한 부분 집합 $\{x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\}\subseteq X$, $n\in \mathbb {N}$은 하계를 갖는다. 즉,
  • ($n=0$인 경우) 공집합이 아니다.
  • ($n=2$인 경우) 임의의 두 원소 $x_{1},x_{2}\in X$에 대하여, $y\lesssim x_{1}$이자 $y\lesssim x_{2}$인 $y\in X$가 적어도 하나 이상 존재한다.

흔히, 상향 원순서 집합은 단순히 "유향 집합"(有向集合, 영어: directed set)으로 불린다.

원순서 집합의 부분 집합 가운데 하향 원순서 집합을 이루는 것을 필터 기저(영어: filter base)라고 하며, 그 상폐포는 필터를 이룬다. 마찬가지로, 원순서 집합의 부분 집합 가운데 상향 원순서 집합을 이루는 것을 순서 아이디얼 기저(영어: ordered ideal base)라고 하며, 그 하폐포는 순서 아이디얼을 이룬다.

유향 극한

임의의 범주 ${\mathcal {C}}$ 속의 상향 그림(上向-, 영어: directed diagram)은 정의역이 상향 원순서 집합 $(I,\lesssim )$인 함자 $I\to {\mathcal {C}}$이다. 상향 그림의 극한을 상향 극한(영어: upward-directed limit)이라고 한다.

임의의 범주 ${\mathcal {C}}$ 속의 하향 그림(下向-, 영어: directed diagram)은 정의역이 하향 원순서 집합 $(I,\lesssim )$인 함자 $I\to {\mathcal {C}}$이다. 상향 그림의 쌍대 극한을 하향 쌍대 극한(영어: downward-directed colimit)이라고 한다.

성질

원순서 집합 $(X,\lesssim _{X})$ 위의 상향 부분 집합들의 집합 위에는 다음과 같은 원순서가 주어진다.

$B\lesssim B'\iff \forall b\in B\exists b'\in B'\colon b'\lesssim _{X}b$

$B\lesssim B'$일 경우 $B'$이 $B$보다 더 섬세하다(영어: finer)고 한다. 두 상향 부분 집합 $B$, $B'$이 같은 필터를 생성하는 것은 $B\lesssim B'$이자 $B'\lesssim B$인 것과 동치이다.

마찬가지로, 원순서 집합 $(X,\lesssim _{X})$ 위의 하향 부분 집합들의 집합 위에는 다음과 같은 원순서가 주어진다.

$B\lesssim B'\iff \forall b\in B\exists b'\in B'\colon b\lesssim _{X}b'$

두 하향 부분 집합 $B$, $B'$이 같은 순서 아이디얼을 생성하는 것은 $B\lesssim B'$이자 $B'\lesssim B$인 것과 동치이다.

참고 문헌

• J. L. Kelley (1955), General Topology.
• Gierz, Hofmann, Keimel, et al. (2003), Continuous Lattices and Domains, Cambridge University Press. ISBN 0-521-80338-1.

외부 링크

• “Directed set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Directed order”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Directed set”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Direction”. 《nLab》 (영어). 
• “Directed limit”. 《nLab》 (영어). 
• “Directed colimit”. 《nLab》 (영어).