여과 범주

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범주론에서, 여과 범주(濾過範疇, 영어: filtered category)는 상향 원순서 집합의 개념의 범주론적 일반화이다. 여과 범주를 정의역으로 하는 쌍대 극한은 유한 극한과 가환한다.

정의[편집]

정칙 기수 가 주어졌다고 하자. 범주 가 다음 조건들을 만족시킨다면, -여과 범주라고 한다.

  • 임의의 작은 범주 함자 에 대하여, 만약 사상 집합의 크기 미만이라면, 는 쌍대뿔(영어: cocone)을 갖는다.

-여과 범주는 단순히 여과 범주라고 한다.

마찬가지로, -쌍대 여과 범주(영어: -cofiltered category)는 -여과 범주의 반대 범주이다.

성질[편집]

범주 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • -여과 범주이다.
  • 다음 세 조건들을 만족시킨다.
    • 하나 이상의 대상을 갖는다. (이는 가 아무 대상을 갖지 않을 때의 경우이다.)
    • (두 대상의 상계의 존재) 임의의 두 대상 에 대하여, 대상 및 두 사상 이 존재한다.
    • (두 사상의 상계의 존재) 같은 정의역공역을 갖는 두 사상 에 대하여, 가 되는 대상 및 사상 가 존재한다.

극한의 교환 법칙[편집]

임의의 완비 범주 및 임의의 작은 범주 에 대하여 극한 함자

를 정의할 수 있으며, 임의의 쌍대 완비 범주 및 임의의 작은 범주 에 대하여 쌍대 극한 함자

를 정의할 수 있다. 특히, 작은 범주의 범주는 데카르트 닫힌 범주이므로, 두 개의 작은 범주 , 함자

에 대하여, 함자

집합

를 정의할 수 있다. 또한, 극한 또는 쌍대 극한보편 성질에 의하여 표준적인 함수

가 존재한다.

작은 범주 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • -여과 범주이다.
  • (극한과 쌍대 극한의 교환 법칙) 임의의 유한 개의 사상들을 갖는 범주 및 임의의 함자 에 대하여, 표준적인 사상 는 항상 전단사 함수이다.

외부 링크[편집]