여과 범주

범주론에서, 여과 범주(濾過範疇, 영어: filtered category)는 상향 원순서 집합의 개념의 범주론적 일반화이다. 여과 범주를 정의역으로 하는 쌍대 극한은 유한 극한과 가환한다.

정의[편집]

정칙 기수 $\kappa$ 가 주어졌다고 하자. 범주 ${\mathcal {J}}$ 가 다음 조건들을 만족시킨다면, $\kappa$ -여과 범주라고 한다.

임의의 작은 범주 ${\mathcal {I}}$ 및 함자 $D\colon {\mathcal {I}}\to {\mathcal {J}}$ 에 대하여, 만약 ${\mathcal {I}}$ 의 사상 집합의 크기가 $\kappa$ 미만이라면, $D$ 는 쌍대뿔(영어: cocone)을 갖는다.

$\aleph _{0}$ -여과 범주는 단순히 여과 범주라고 한다.

마찬가지로, $\kappa$ -쌍대 여과 범주(영어: $\kappa$ -cofiltered category)는 $\kappa$ -여과 범주의 반대 범주이다.

범주 ${\mathcal {J}}$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$\aleph _{0}$ -여과 범주이다.
다음 세 조건들을 만족시킨다.
- 하나 이상의 대상을 갖는다. (이는 ${\mathcal {I}}$ 가 아무 대상을 갖지 않을 때의 경우이다.)
- (두 대상의 상계의 존재) 임의의 두 대상 $I,J\in {\mathcal {J}}$ 에 대하여, 대상 $K\in {\mathcal {J}}$ 및 두 사상 $I{\xrightarrow {f}}K{\xleftarrow {g}}J$ 이 존재한다.
- (두 사상의 상계의 존재) 같은 정의역과 공역을 갖는 두 사상 $f,g\colon I\to J$ 에 대하여, $h\circ f=h\circ g$ 가 되는 대상 $K$ 및 사상 $h\colon J\to K$ 가 존재한다.
${\begin{matrix}I&{\overset {f}{\to }}&J\\{\scriptstyle g}{\downarrow }{\color {White}\scriptstyle g}&&{\color {White}\scriptstyle h}{\downarrow }\scriptstyle h\\J&{\underset {h}{\to }}&K\end{matrix}}$

임의의 완비 범주 ${\mathcal {C}}$ 및 임의의 작은 범주 ${\mathcal {J}}$ 에 대하여 극한 함자

\varprojlim _{\mathcal {J}}\colon {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}

를 정의할 수 있으며, 임의의 쌍대 완비 범주 ${\mathcal {C}}$ 및 임의의 작은 범주 ${\mathcal {J}}$ 에 대하여 쌍대 극한 함자

\varinjlim _{\mathcal {J}}\colon {\mathcal {C}}^{{\mathcal {J}}^{\operatorname {op} }}\to {\mathcal {C}}

를 정의할 수 있다. 특히, 작은 범주의 범주는 데카르트 닫힌 범주이므로, 두 개의 작은 범주 ${\mathcal {I}}$ , ${\mathcal {J}}$ 및 함자

D\colon {\mathcal {J}}\times {\mathcal {I}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set}

D\in \operatorname {Set} ^{{\mathcal {J}}\times {\mathcal {I}}^{\operatorname {op} }}\simeq (\operatorname {Set} ^{\mathcal {J}})^{{\mathcal {I}}^{\operatorname {op} }}\simeq (\operatorname {Set} ^{{\mathcal {I}}^{\operatorname {op} }})^{\mathcal {J}}

에 대하여, 함자

\varinjlim _{\mathcal {I}}D\in \operatorname {Set} ^{\mathcal {J}}

\varprojlim _{\mathcal {J}}D\in \operatorname {Set} ^{{\mathcal {I}}^{\operatorname {op} }}

\varinjlim _{\mathcal {J}}\varprojlim _{\mathcal {I}}D\in \operatorname {Set}

\varprojlim _{\mathcal {I}}\varinjlim _{\mathcal {J}}D\in \operatorname {Set}

를 정의할 수 있다. 또한, 극한 또는 쌍대 극한의 보편 성질에 의하여 표준적인 함수

\varinjlim _{\mathcal {J}}\varprojlim _{\mathcal {I}}D\to \varprojlim _{\mathcal {I}}\varinjlim _{\mathcal {J}}D

가 존재한다.

작은 범주 ${\mathcal {J}}$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

$\aleph _{0}$ -여과 범주이다.
(극한과 쌍대 극한의 교환 법칙) 임의의 유한 개의 사상들을 갖는 범주 ${\mathcal {I}}$ 및 임의의 함자 $D\colon {\mathcal {J}}\times {\mathcal {I}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set}$ 에 대하여, 표준적인 사상 $\varinjlim _{\mathcal {J}}\varprojlim _{\mathcal {I}}D\to \varprojlim _{\mathcal {I}}\varinjlim _{\mathcal {J}}D$ 는 항상 전단사 함수이다.