라그랑주 네 제곱수 정리

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수론에서, 라그랑주 네 제곱수 정리(-數定理, 영어: Lagrange's four-square theorem)는 모든 양의 정수가 많아야 4개의 제곱수의 합이라는 정리이다.[1]

정의[편집]

양의 정수 가 주어졌다고 하자. 라그랑주 네 제곱수 정리에 따르면, 다음을 만족시키는 4개의 음이 아닌 정수 이 존재한다.

사실, 4개라는 조건은 더 적은 개수로 대신할 수 없다. 즉, 에 대하여, 는 3개의 제곱수의 합으로 나타낼 수 없으며, 이러한 꼴을 제외한 모든 정수들은 3개의 제곱수의 합으로 나타낼 수 있다. 또한, 음이 아닌 정수라는 조건은 양의 정수로 대신할 수 없다. 예를 들어, 에 대하여, 는 4개의 0이 아닌 제곱수의 합으로 나타낼 수 없다. 또한, 다음과 같은 12개의 수를 제외한 모든 양의 정수는 5개의 0이 아닌 제곱수의 합이다.

1, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 12, 15, 18, 33 (OEIS의 수열 A047701)

증명[편집]

사실 소수일 경우를 보이는 것으로 충분하다. 이는 다음과 같은 오일러 네 제곱수 항등식 때문이다.

또한, 일 경우는 자명하므로, 라고 가정하자. 이제 다음을 만족시키는 가 존재함을 보이자.

다음과 같은 두 집합이 서로소가 아님을 보이면 된다.

여기서 에 대한 나머지이며, 에 대한 모든 나머지의 집합이다. 임의의 에 대하여, 만약

라면,

이거나

이므로, 이다. 즉, 이 두 집합의 크기는 모두 이며, 의 크기는 이므로 이 두 집합은 서로소가 아니다. 인 이유는 다음과 같다.

이제 가 4개의 제곱수의 합임을 증명하자. 다음과 같은 을 정의하고, 임을 보이면 충분하다.

귀류법을 사용하여, 이라고 가정하자. 다음을 만족시키는 이 존재한다.

만약 이 짝수라면, 편의상 가 짝수라고 가정할 수 있으며, 이 경우 다음이 성립한다.

이는 모순이므로, 은 홀수이다. 다음과 같은 를 취하자.

그렇다면,

이므로, 다음을 만족시키는 이 존재한다.

만약 이라면,

이므로,

이다. 이는 에 모순이다. 따라서, 이며, 또한 다음이 성립한다.

마지막 등식의 각 항의 나머지를 생각하면 다음을 얻는다.

즉, 는 4개의 제곱수의 합으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

이는 모순이다. 따라서, 이며, 는 4개의 제곱수의 합이다.

역사[편집]

디오판토스의 《산술(Αριθμητικα)》에서 처음으로 그 내용이 나타나고 프랑스클로드 가스파르 바셰1621년 이 책을 라틴어로 번역하여 유럽 수학계에 알려졌지만 이에 대한 제대로 된 증명은 없었다. 그 이후 바셰의 추측이라는 이름이 붙었으나, 조제프루이 라그랑주1770년에 완전히 증명에 성공하였다.

같이 보기[편집]

각주[편집]

  1. 오정환, 이준복, 《정수론》, 2003, 177쪽.

외부 링크[편집]