내접 사각형

기하학에서 내접 사각형(內接四角形, 영어: cyclic quadrilateral)은 네 꼭짓점이 한 원 위의 점인 사각형이다. 즉, 이는 어떤 원에 내접하는 사각형이며, 다시 말해 이는 외접원을 갖는 사각형이다.

정의

(볼록) 사각형 $ABCD$의 네 꼭짓점 $A$, $B$, $C$, $D$가 공원점이라면, 이 사각형 $ABCD$를 내접 사각형이라고 한다. 모든 꼭짓점을 지나는 이 원을 사각형 $ABCD$의 외접원이라고 하고, 이 원의 중심을 사각형 $ABCD$의 외심이라고 한다.

성질

각

내접 사각형은 두 대각의 합이 180도인 사각형과 동치이다. 다시 말해, 내접 사각형의 외각은 내대각과 같으며, 반대로 외각이 내대각과 같은 사각형은 내접 사각형이다. 즉, 사각형 $ABCD$에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• 사각형 $ABCD$는 내접 사각형이다.
• $A+C=180^{\circ }$
• $B+D=180^{\circ }$

증명:

만약 사각형 $ABCD$는 내접 사각형이라면, 꼭짓점 $A$와 $C$에서의 내각은 각각 $B$와 $D$를 끝점으로 하는 합이 외접원의 두 켤레호에 대한 원주각이므로 합은 180도이다. 만약 $A+C=180^{\circ }$라면, 또한 $A$와 $C$는 직선 $BD$의 서로 반대쪽에 위치하므로, $A$, $B$, $C$, $D$는 공원점이며, 사각형 $ABCD$는 내접 사각형이다.

사각형의 네 내각의 이등분선으로 이루어진 사각형은 내접 사각형이다.^{:35, §4.1}

증명:

사각형 $ABCD$의 $A$와 $B$, $B$와 $C$, $C$와 $D$, $D$와 $A$에서의 내각의 이등분선이 각각 점 $P$, $Q$, $R$, $S$에서 만난다고 하자. 그렇다면

$P=180^{\circ }-{\frac {1}{2}}A-{\frac {1}{2}}B$

$R=180^{\circ }-{\frac {1}{2}}C-{\frac {1}{2}}D$

이므로

$P+R=360^{\circ }-{\frac {1}{2}}(A+B+C+D)=180^{\circ }$

이다.

대각선

프톨레마이오스 정리에 따르면, 내접 사각형은 두 대각선의 길이의 곱이 두 쌍의 대변의 길이의 곱의 합과 같은 사각형과 동치이다. 즉, 사각형 $ABCD$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 사각형 $ABCD$는 내접 사각형이다.
• $AC\cdot BD=AB\cdot CD+AD\cdot BC$

넓이

브라마굽타 공식에 따르면, 내접 사각형의 네 변의 길이가 $a$, $b$, $c$, $d$라고 하고, 반둘레를 $s$라고 할 경우, 이 내접 사각형의 넓이는

$S={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}$

이다.^{:57, §3.2, Theorem 3.22} 만약 $d=0$이라고 하면, 내접 사각형은 변의 길이가 $a$, $b$, $c$인 삼각형이 되고, 브라마굽타 공식은 헤론 공식

$S={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$

가 된다.^{:57, §3.2}

반중심

 브라마굽타 정리 § 일반화 문서를 참고하십시오.

내접 사각형의 각 변의 중점에서 대변에 내린 수선은 한 점에서 만난다. 이 점을 내접 사각형의 반중심(反中心, 영어: anticenter)이라고 한다.^{:36, §4.2} 내접 사각형의 반중심은 무게 중심에 대한 외심의 반사상이다.

증명:

내접 사각형 $ABCD$의 각 변 $AB$, $BC$, $CD$, $DA$의 중점을 $P$, $Q$, $R$, $S$라고 하고, 무게 중심 $G$에 대한 외심 $O$의 반사상을 $T$라고 하자. 그렇다면 $G$는 선분 $OT$와 $PR$의 공통 중점이므로, 삼각형 $PTG$와 $ROG$는 서로 $G$에 대한 반사상이며, 특히 $PT$와 $OR$는 평행한다. $OR$는 선분 $CD$의 수직 이등분선이므로, $PT$ 역시 $CD$의 수선이다.

내접 사각형의 반중심은 두 대각선의 중점과 교점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 수심이다.^{:39, §4.2} 특히 직교대각선 내접 사각형의 반중심은 두 대각선의 교점이다. 즉, 만약 내접 사각형의 두 대각선이 직교한다면, 두 대각선의 교점에서 사각형의 한 변에 내린 수선은 대변을 이등분한다. 이를 브라마굽타 정리라고 한다.

증명:

내접 사각형 $ABCD$의 대각선 $AC$, $BD$의 교점을 $P$라고 하고, 선분 $AC$의 중점을 $M$, $BD$의 중점을 $N$이라고 하자. 그렇다면 $G$는 선분 $MN$의 중점이다. 또한 이는 외심 $O$와 반중심 $T$를 잇는 선분 $OT$의 중점이므로, 삼각형 $MTG$와 $NOG$는 서로 $G$에 대한 반사상이며, 특히 $MT$와 $ON$은 평행한다. $ON$은 선분 $BD$의 수직 이등분선이며, 특히 이는 삼각형 $PMN$의 변 $PN$의 수선이다. 따라서 $MT$ 역시 $PN$의 수선이다. 마찬가지로 $NT$는 $PM$의 수선이다. 즉, $T$는 삼각형 $PMN$의 수심이다.

외부 링크

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Cyclic quadrilateral”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Anticenter”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.