내접 사각형

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기하학에서, 내접 사각형(內接四角形, 영어: cyclic quadrilateral)은 네 꼭짓점이 한 위의 점인 사각형이다. 즉, 이는 어떤 원에 내접하는 사각형이며, 다시 말해 이는 외접원을 갖는 사각형이다.

정의[편집]

(볼록) 사각형 의 네 꼭짓점 , , , 공원점이라면, 이 사각형 내접 사각형이라고 한다. 모든 꼭짓점을 지나는 이 원을 사각형 외접원이라고 하고, 이 원의 중심을 사각형 외심이라고 한다.

성질[편집]

[편집]

내접 사각형은 두 대각의 합이 180도인 사각형과 동치이다. 다시 말해, 내접 사각형의 외각내대각과 같으며, 반대로 외각이 내대각과 같은 사각형은 내접 사각형이다. 즉, 사각형 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

  • 사각형 는 내접 사각형이다.

증명:

만약 사각형 는 내접 사각형이라면, 꼭짓점 에서의 내각은 각각 를 끝점으로 하는 합이 외접원의 두 켤레호에 대한 원주각이므로 합은 180도이다. 만약 라면, 또한 는 직선 의 서로 반대쪽에 위치하므로, , , , 는 공원점이며, 사각형 는 내접 사각형이다.

사각형의 네 내각의 이등분선으로 이루어진 사각형은 내접 사각형이다.[1]:35, §4.1

증명:

사각형 , , , 에서의 내각의 이등분선이 각각 점 , , , 에서 만난다고 하자. 그렇다면

이므로

이다.

대각선[편집]

프톨레마이오스 정리에 따르면, 내접 사각형은 두 대각선의 길이의 곱이 두 쌍의 대변의 길이의 곱의 합과 같은 사각형과 동치이다. 즉, 사각형 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 사각형 는 내접 사각형이다.

넓이[편집]

브라마굽타 공식에 따르면, 내접 사각형의 네 변의 길이가 , , , 라고 하고, 반둘레라고 할 경우, 이 내접 사각형의 넓이는

이다.[2]:57, §3.2, Theorem 3.22 만약 이라고 하면, 내접 사각형은 변의 길이가 , , 인 삼각형이 되고, 브라마굽타 공식은 헤론 공식

가 된다.[2]:57, §3.2

반중심[편집]

내접 사각형의 각 변의 중점에서 대변에 내린 수선은 한 점에서 만난다. 이 점을 내접 사각형의 반중심(反中心, 영어: anticenter)이라고 한다.[1]:36, §4.2 내접 사각형의 반중심은 무게 중심에 대한 외심반사상이다.

증명:

내접 사각형 의 각 변 , , , 의 중점을 , , , 라고 하고, 무게 중심 에 대한 외심 의 반사상을 라고 하자. 그렇다면 는 선분 의 공통 중점이므로, 삼각형 는 서로 에 대한 반사상이며, 특히 는 평행한다. 는 선분 수직 이등분선이므로, 역시 의 수선이다.

내접 사각형의 반중심은 두 대각선의 중점과 교점을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 수심이다.[1]:39, §4.2 특히 직교대각선 내접 사각형의 반중심은 두 대각선의 교점이다. 즉, 만약 내접 사각형의 두 대각선이 직교한다면, 두 대각선의 교점에서 사각형의 한 변에 내린 수선은 대변을 이등분한다. 이를 브라마굽타 정리라고 한다.

증명:

내접 사각형 의 대각선 , 의 교점을 라고 하고, 선분 의 중점을 , 의 중점을 이라고 하자. 그렇다면 는 선분 의 중점이다. 또한 이는 외심 와 반중심 를 잇는 선분 의 중점이므로, 삼각형 는 서로 에 대한 반사상이며, 특히 은 평행한다. 은 선분 의 수직 이등분선이며, 특히 이는 삼각형 의 변 의 수선이다. 따라서 역시 의 수선이다. 마찬가지로 의 수선이다. 즉, 는 삼각형 의 수심이다.

각주[편집]

  1. Honsberger, Ross (1995). 《Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry》. New Mathematical Library (영어). Washington: The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-639-5. 
  2. Coxeter, H. S. M.; Greitzer, S. L. (1967). 《Geometry Revisited》 (영어). Buehler, George H. 삽화. Washington, D.C.: Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-619-0. 

외부 링크[편집]