부분 정의 함수

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색
부분 정의 함수의 예
단사 부분 정의 함수의 예

수학에서, 부분 정의 함수(部分定義函數, 영어: partial(ly defined) function)는 정의역의 일부분에만 정의되는, 함수의 개념의 일반화이다.

정의[편집]

집합 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 에서 로 가는 부분 정의 함수는 정의역 부분 집합이며, 공역함수 이다. 이들의 집합을 로 표기하자.

부분 정의 함수는 다음과 같이 달리 생각할 수도 있다. 우선, 점을 가진 집합

를 정의하자. 그렇다면 다음 세 개념이 동치이다.

  • 부분 정의 함수
  • 점을 보존하는 함수
  • 함수

이 경우

이다. 특히, 는 지수 집합 와 표준적으로 일대일 대응한다.

부분 순서[편집]

부분 정의 함수들의 집합을 라고 표기하자. 그렇다면, 그 위에는 다음과 같은 부분 순서를 줄 수 있다.

그렇다면 부분 순서 집합을 이룬다.

기수 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 는 정의역의 크기 미만인 부분 정의 함수들의 집합이다.[1]:211, Definition VII.6.1

이 역시 부분 순서 집합을 이룬다.

성질[편집]

조합론적 성질[편집]

크기는 다음과 같다.

(이는 , 가 무한 집합일 경우에도 성립한다.)

크기는 다음과 같다.

순서론적 성질[편집]

극대·극소 원소[편집]

의 (유일한) 최소 원소정의역공집합인 유일한 함수이다. 극대 원소함수 이다.

반사슬 조건[편집]

만약 가산 집합이라면, 가산 강상향 반사슬 조건을 만족시킨다. (이 사실은 강제법에서 중요하게 쓰인다.)

임의의 집합 , 및 기수 가 주어졌다고 하고,

라고 하자. 그렇다면, -강상향 반사슬 조건을 만족시킨다.

포괄적 순서 아이디얼[편집]

임의의 기수 포괄적 순서 아이디얼 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 순서 아이디얼상향 원순서 집합이므로 상한 가 항상 존재하며, 또한 다음이 성립한다.[1]:211, Lemma VII.6.2

  • 만약 라면, 이다. 즉, 는 ( 전체에 정의된) 함수이다.

증명:

임의의 에 대하여, 에 대하여 정의된 부분 정의 함수의 집합 공종 집합이다. 따라서 가 존재하며, 특히 이자 이다.

  • 만약 라면, 이다. 즉, 전사 함수이다.

증명:

임의의 에 대하여, 치역에 포함되는 부분 정의 함수의 집합 공종 집합이다. 따라서 가 존재하며, 특히 이자 이다.

범주론적 성질[편집]

다음과 같은 범주 를 생각하자.

  • 의 대상은 집합이다.
  • 두 집합 , 사이의 사상 은 부분 정의 함수 이다.

그렇다면, 점을 가진 집합의 범주 동치이다.[2]:10

다음과 같은 범주 를 생각하자.

  • 의 대상은 집합이다.
  • 두 집합 , 사이의 사상 은 단사 부분 정의 함수 이다. (즉, 이는 의 부분 집합과 의 부분 집합 사이의 전단사 함수이다.)

그렇다면 는 스스로의 반대 범주동치이다.[3]:289, Exercise 5.7.3

강제법적 성질[편집]

(편의상, 강제법공시작 집합·포괄적 필터 대신 공종 집합·포괄적 순서 아이디얼을 사용하자.)

ZFC가산 표준 추이적 모형 이 주어졌다고 하자. 그렇다면 속에서 을 구성할 수 있다. 그렇다면, 포괄적 순서 아이디얼 를 추가한 강제법 모형 를 정의할 수 있다. 이를 코언 강제법(영어: Cohen forcing)이라고 한다.[1]:§VII.5

구체적으로, 에 대하여 이자 , 이라고 놓자. (절대적이다.) 또한

라고 하자. 즉,

이라고 하자. (여기서 순서수이지만 기수가 아닐 수 있다.) 그렇다면

임을 보일 수 있다[1]:208, §VII.5 (연속체 가설).

증명:

순서 아이디얼 조건에 의하여 이며, 또한 포괄성 조건에 따라서 사실 전체에 정의된 함수이다.

다음을 정의하자.

그렇다면 포괄성 조건에 의하여 다음을 보일 수 있다.

따라서, 개의 부분 집합들을 이루며, 따라서

이다.[1]:205, Lemma VII.5.3

이제, 속에서 가산 강상향 반사슬 조건을 만족시키므로, 이에 대한 강제법은 기수를 보존한다. 따라서 의 크기는 속에서 같으며, 따라서

이다.

참고 문헌[편집]

  1. Kunen, Kenneth (1980). 《Set theory: an introduction to independence proofs》. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics (영어) 102. North-Holland. ISBN 978-0-444-86839-8. MR 597342. Zbl 0534.03026. 
  2. Schröder, Lutz (2001). 〈Categories: a free tour〉. Koslowski, Jürgen; Melton, Austin. 《Categorical perspectives》. Trends in Mathematics (영어). Birkhäuser. 1–27쪽. ISBN 978-1-4612-7117-8. Zbl 0985.18001. doi:10.1007/978-1-4612-1370-3_1. 
  3. Borceux, Francis (1994). 《Handbook of categorical algebra. Volume 2: categories and structures》 (영어). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-44179-7. Zbl 0843.18001. doi:10.1017/CBO9780511525865. 

외부 링크[편집]